2002-2003学年北京市北大附中高三（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|x+1＞0}，集合B={x|x²-2＜0}则A∪B等于（ ）
A．
B．
C．
D．{x|x＞-1}

2. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=-2，2a_n+1=2a_n+3，则a₁₁等于（ ）
A．
B．10
C．13
D．19

3. 难度：中等

已知复数z满足，那么复数z的模|z|等于（ ）
A．
B．5
C．2
D．

4. 难度：中等

已知函数，则的值是（ ）
A．9
B．-9
C．
D．

5. 难度：中等

已知函数f（x）=2^x-1，那么它的反函数y=f^-1（x）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若a，b∈R，则成立的一个充分必要条件是（ ）
A．a＞b＞0
B．b＞a
C．a＜b＜0
D．ab（a-b）＜0

7. 难度：中等

若关于x的不等式x²-4x≥m对任意x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≤-3或m≥0
B．-3≤m≤0
C．m≥-3
D．m≤-3

8. 难度：中等

2名语文教师2名数学教师分别担任某年级4个班的语文、数学课，每人承担两个班课，不同的任课方法有（ ）
A．36种
B．12种
C．18种
D．24种

9. 难度：中等

定义域是R的函数f（x）中，对任意两个互不相等的实数a、b总有成立，那么一定有（ ）
A．f（x）在R上是增函数
B．f（x）在R轴上是减函数
C．f（x）是奇函数
D．f（x）是偶函数

10. 难度：中等

设，对所有实数x均满足xf（x）≤g（x），那么函数g（x）可以是（ ）
A．g（x）=sin
B．g（x）=
C．g（x）=x²
D．g（x）=|x|

二、填空题

11. 难度：中等

若函数，则不等式f^-1（x）＞f（x）的解集是    ．

12. 难度：中等

当x∈[0，3]时，函数f（x）=x²（3-x）的最大值是    ．

13. 难度：中等

若无穷等比数列{a_n}的前n项和为S_n，其各项和为S．又S=S_n+2a_n，则数列{a_n}的公比为    ．

14. 难度：中等

有以下四个命题：
①函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）与函数g（x）=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定义域相同；
②函数f（x）=x³与g（x）=3^x的值域相同；
③函数f（x）=（x-1）²与g（x）=2^x-1在（0，+∞）上都是增函数；
④函数与在其定义域内均是奇函数；
其中正确命题的题号为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

解不等式．

16. 难度：中等

设z是复数，试解方程．

17. 难度：中等

在数列{a_n}中，，其中S_n表示数列的前n项和．
（Ⅰ）分别求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式a_n的表达式，并予以证明．

18. 难度：中等

甲、乙两人连续6年对某农村养鸡业的规模进行调查，提供出以下两个不同的信息图及表．甲调查表明：每个养鸡场出产的鸡从第1年1万只上升到第6年2万只．（如表）

年	1	2	3	4	5	6
鸡场养鸡平均只数	1.0万	1.2万	1.4万	1.6万	1.8万	2.0万

乙调查表明：（如右图所示）
养鸡场由第一年30个减少到第六年10个．
请你根据这两组信息解答以下问题：
（Ⅰ）求第2年养鸡场的个数及第2年全县出产鸡的总只数；
（Ⅱ）问：到第6年这个县的养鸡总只数比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由．
（Ⅲ）求哪一年该县的养鸡总只数规模最大，哪一年规模最小？说明理由．

19. 难度：中等

设二次函数f（x）=x²+x+c（c＞0）．若f（x）=0有两个实数根x₁，x₂（x₁＜x₂）．
（Ⅰ）求正实数c的取值范围；
（Ⅱ）求x₂-x₁的取值范围；
（Ⅲ）如果存在一个实数m，使得f（m）＜0，证明：m+1＞x₂．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）及数列{a_n}．
使得2，f（a₁），f（a₂），…，f（a₁），2n+4构成等差数列（n=1，2，…）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{a_n}的前n项和为S_n，当0＜a＜1时，求；
（Ⅲ）若b_n=a_n•f（a_n），当a＞1时，试比较b_n与b_n+1的大小．