2007-2008学年北京市海淀区高一（下）期中数学试卷（必修5）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在等差数列3，7，11 …中，第5项为（ ）
A．15
B．18
C．19
D．23

2. 难度：中等

数列{a_n}中，如果a_n=3ⁿ（n=1，2，3，…），那么这个数列是（ ）
A．公差为2的等差数列
B．公差为3的等差数列
C．首项为3的等比数列
D．首项为1的等比数列

3. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₂+a₆=8，a₃+a₄=3，那么它的公差是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

4. 难度：中等

△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a=3，b=4，∠C=60°，则c的值等于（ ）
A．5
B．13
C．
D．

5. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N₊），那么a₄的值为（ ）
A．4
B．8
C．15
D．31

6. 难度：中等

在△ABC中，若==，则△ABC是（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形

7. 难度：中等

如果a＞b＞0，t＞0，设，，那么（ ）
A．M＞N
B．M＜N
C．M=N
D．M与N的大小关系随t的变化而变化

8. 难度：中等

如果{a_n}为递增数列，则{a_n}的通项公式可以为（ ）
A．a_n=-2n+3
B．a_n=n²-3n+1
C．
D．a_n=1+log₂n

9. 难度：中等

如果a＜b＜0，那么（ ）
A．a-b＞0
B．ac＜bc
C．
D．a²＜b²

10. 难度：中等

我们用以下程序框图来描述求解一元二次不等式ax²+bx+c＞0（a＞0）的过程．令a=2，b=4，若c∈（0，1），则输出区间的形式为（ ）
A．M
B．N
C．P
D．∅

二、填空题

11. 难度：中等

已知x是4和16的等差中项，则x=    ．

12. 难度：中等

一元二次不等式x²＜x+6的解集为    ．

13. 难度：中等

函数f（x）=x（1-x），x∈（0，1）的最大值为    ．

14. 难度：中等

在数列{a_n}中，其前n项和S_n=3•2ⁿ+k，若数列{a_n}是等比数列，则常数k的值为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

三角形ABC中，BC=7，AB=3，且．
（Ⅰ）求AC；
（Ⅱ）求∠A．

16. 难度：中等

某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．
（Ⅰ）求底面积并用含x的表达式表示池壁面积；
（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？

17. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项的和记为S_n．如果a₄=-12，a₈=-4．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求S_n的最小值及其相应的n的值；
（Ⅲ）从数列{a_n}中依次取出，构成一个新的数列{b_n}，求{b_n}的前n项和．

四、填空题

18. 难度：中等

在四个正数2，a，b，9中，若前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则a=    ，b=    ．

19. 难度：中等

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a：b：c=3：5：6，则=    ．

20. 难度：中等

如果x＞0，y＞0，x+y+xy=2，则x+y的最小值为    ．

21. 难度：中等

如果有穷数列a₁，a₂，a₃，…，a_m（m=2k，k∈N^*）满足条件a₁=-a_m，a₂=-a_m-1，…，a_m=-a₁即a_i=-a_m-i+1（i=1，2，…，m），我们称其为“反对称数列”．
（1）请在下列横线上填入适当的数，使这6个数构成“反对称数列”：-8，    ，-2，    ，4，    ；
（2）设{c_n}是项数为30的“反对称数列”，其中c₁₆，c₁₇，c₁₈，…，c₃₀构成首项为-1，公比为2的等比数列．设T_n是数列{nc_n}的前n项和，则T₁₅=    ．

五、解答题

22. 难度：中等

如图，在一建筑物底部B处和顶部A 处分别测得山顶C处的仰角为60°和45°（AB连线垂直于水平线），已知建筑物高AB=20米，求山高DC．

23. 难度：中等

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n+n²-3n-2（n=1，2，3…）．令b_n=a_n-2n（n=1，2，3…）．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}为等比数列；
（Ⅱ）令，记T_n=c₁c₂+2c₂c₃+2²c₃c₄+…+2^n-1c_nc_n+1，比较T_n与的大小．