2006-2007学年浙江省宁波市八校联考高二（上）数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知直线，则直线的倾斜角为（ ）
A．60°
B．-60°
C．150°
D．120°

2. 难度：中等

给出下列四个命题，真命题是（ ）
①垂直于同一条直线的两条直线平行
②垂直于同一个平面的两个平面平行
③若直线l₁，l₂与同一个平面所成的角相等，则l₁∥l₂
④对任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l垂直．
A．①②③④
B．②③④
C．①②
D．④

3. 难度：中等

已知命题甲：ab＞0；命题乙：方程ax²+by²=1的曲线是椭圆．则命题甲是命题乙的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

设正四面体A-BCD中，E、F分别为AC、AD的中点，则△BEF在该四面体的面ADC上的射影可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知二面角α-l-β的大小为60°，m、n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m、n所成的角为（ ）
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°

6. 难度：中等

若直线2x-y+c=0按向量=（1，-1）平移后与圆x²+y²=5相切，则c的值为（ ）
A．8或-2
B．6或-4
C．4或-6
D．2或-8

7. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点作直线交抛物线于A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）两点，如果x₁+x₂=6，那么|AB|=（ ）
A．6
B．8
C．9
D．10

8. 难度：中等

平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是（ ）
A．一条直线
B．一个圆
C．一个椭圆
D．双曲线的一支

9. 难度：中等

设α、β、γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题，其中正确命题的个数是（ ）
①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；
②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；
③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；
④若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

10. 难度：中等

（文）设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0，F₁、F₂分别是双曲线左右焦点．若|PF₁|=5，则|PF₂|=（ ）
A．3或7
B．1或9
C．7
D．9

11. 难度：中等

（理）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）²+y²=1和（x-5）²+y²=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

二、填空题

12. 难度：中等

在北纬45°圈上有甲、乙两地，甲地位于东经120°，乙地位于西经150°，地球半径为R，则甲、乙两地的球面距离为    ．

13. 难度：中等

已知实数x，y满足，则的最小值等于    ．

14. 难度：中等

（文）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线AB₁与平面ACC₁A₁所成的角大小为    ．

15. 难度：中等

（理）若一条直线与一个正方体的各个面所成的角都为θ，则sinθ=    ．

16. 难度：中等

过双曲线的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B，C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是    ．

17. 难度：中等

过椭圆的左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率e=    ．

三、解答题

18. 难度：中等

求圆心在直线y=-2x上，并且经过点A（2，-1），与直线x+y=1相切的圆的方程．

19. 难度：中等

如图，正四棱锥P-ABCD的侧棱中点为E，
（1）求证：PA∥截面BDE；
（2）求证：平面PAC⊥截面BDE；
（3）如果PA=5，AB=，求PA与平面BDE的距离．

20. 难度：中等

设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为，过椭圆内一点P（2，1）的直线交椭圆于A、B两点，，且P点恰为AB的中点．
（1）求直线AB的方程；
（2）求椭圆的方程．

21. 难度：中等

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB和BC的中点，EF与BD相交于点H，M为BB₁中点．
①求二面角B₁-EF-B的大小；
②求证：D₁M⊥平面B₁EF；
③求点D₁到平面B₁EF的距离．

22. 难度：中等

已知正三棱锥P-ABC的底面边长为6，侧棱长为．有一动点M在侧面PAB内，它到顶点P的距离与到底面ABC的距离比为．

（1）求动点M到顶点P 的距离与它到边AB的距离之比；
（2）在侧面PAB所在平面内建立为如图所示的直角坐标系，求动点M的轨迹方程．

23. 难度：中等

（文）已知动圆过定点P（0，1），且与定直线y=-1相切．
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）设过点Q（0，-1）且以为方向向量的直线l与轨迹M相交于A、B两点．若∠APB为钝角，求直线l斜率的取值范围．

24. 难度：中等

（理）线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）（m＞0），端点A、B到x轴的距离之积为3m．以x轴为对称轴，过A、O、B作抛物线，
（1）求抛物线方程；
（2）若直线AB的斜率为，求当0＜m＜3时，tan∠AOB的取值范围．