2009-2010学年山西省晋中市平遥中学高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z满足z=（i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部是（ ）
A．
B．-
C．-
D．-

2. 难度：中等

若二项式的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为（ ）
A．-27C₉³
B．27C₉³
C．-9C₉⁴
D．9C₉⁴

3. 难度：中等

将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有（ ）种．
A．26
B．36
C．42
D．81

4. 难度：中等

函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）-f（2）
B．0＜f′（3）＜f（3）-f（2）＜f′（2）
C．0＜f（3）＜f′（2）＜f（3）-f（2）
D．0＜f（3）-f（2）＜f′（2）＜f′（3）

5. 难度：中等

sinxcosxdx等于（ ）
A．
B．π
C．1
D．

6. 难度：中等

设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设（1+x）³+（1+x）⁴+（1+x）⁵+…+（1+x）⁵⁰=a+a₁x+…+a₅₀x⁵⁰，则a₃的值是（ ）
A．C₅₀⁴
B．2C₅₀³
C．C₅₁³
D．C₅₁⁴

8. 难度：中等

曲线y=ln（2x-1）上的点到直线2x-y+13=0的最短距离是（ ）
A．5
B．
C．2
D．

9. 难度：中等

函数f（x）=x²e^-x在[1，3]上最大值为（ ）
A．1
B．e^-1
C．4e^-2
D．9e^-3

10. 难度：中等

将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为a_i（i=1，2，…，6），若a₁≠1，a₃≠3，a₅≠5，a₁＜a₃＜a₅，则不同的排列方法种数为（ ）
A．18
B．30
C．36
D．48

11. 难度：中等

已知函数f（x）（x∈R）的一段图象如图所示，f′（x）是函f（x）（数的导函数，且y=f（x+1）是奇函数，给出以下结论：
①f（1-x）+f（1+x）=0；
②f′（x）（x-1）≥0；
③f（x）（x-1）≥0；
④f（x）+f（-x）=0
其中一定正确的是（ ）

A．①③
B．②
C．②③
D．①

12. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-log₃（-x），则对于任意实数a、b，a+b≠0，取值的情况是（ ）
A．大于0
B．小于0
C．等于0
D．不确定

二、填空题

13. 难度：中等

若f（x）=x³+2，则过点P（1，3）的切线方程为    ．

14. 难度：中等

如图，对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记5³的“分裂”中的最小数为a，而5²的“分裂”中最大的数是b，则a+b=    ．

15. 难度：中等

（文）已知y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数，它们的定义域均为[-3，3]，且它们在x∈[0，3]上的图象如图所示，则不等式的解集是    ．

16. 难度：中等

给出下列四个结论：
①命题“∃x∈R，x²-x＞0”的否定是“∀x∈R，x²-x≤0”；
②“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题为真；
③函数f（x）=x-sinx（x∈R）有3个零点；
④对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）．
其中正确结论的序号是    （填上所有正确结论的序号）

三、解答题

17. 难度：中等

已知展开式中各项的系数之和比各项的二项式系数之和大992．
（Ⅰ）求展开式中二项式系数最大的项；    （Ⅱ）求展开式中系数最大的项．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+mx²+nx-2的图象过点（-1，-6），且函数g（x）=f'（x）+6x的图象的对称轴为y轴
（I）求函数y=f（x）的解析式及它的单调递减区间
（II）若函数y=f（x）的极小值在区间（a-1，a+1）内，求a的取值范围．

19. 难度：中等

如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB=20km，BC=10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．
（1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数；
（ii）设OP=x（km），将y表示成x的函数；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．

20. 难度：中等

已知抛物线y=ax²+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a，b值，并求S的最大值．

21. 难度：中等

已知直线y=ax+1与双曲线3x²-y²=1交于A、B两点，
（1）若以AB线段为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．
（2）是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线对称？说明理由．

22. 难度：中等

已知定义在正实数集上的函数f（x）=x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0．设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．
（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）求证：f（x）≥g（x）  （x＞0）．