2009-2010学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在△ABC中，A=45°，C=30°，c=20，则边a的长为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

不等式x（9-x）＞0的解集是（ ）
A．（0，9）
B．（9，+∞）
C．（-∞，9）
D．（-∞，0）∪（9，+∞）

3. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=a_n-1²-1，（n＞1），则a₅=（ ）
A．0
B．-1
C．-2
D．3

4. 难度：中等

设函数f（x）的图象如右图所示，则导函数f′（x）的图象可能为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

四个不相等的正数a、b、c、d成等差数列，则下列关系式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

命题“∃x∈R，x²-x+1≤0”的真假判断及该命题的否定为（ ）
A．真；∃x∈R，x²-x+1＞0
B．假；∃x∈R，x²-x+1＞0
C．真；∀x∈R，x²-x+1＞0
D．假；∀x∈R，x²-x+1＞0

7. 难度：中等

我市某企业在2009年元月份为战胜国际背景下的金融危机，积极响应国务院提出的产业振兴计划，对每周的自动化生产项目中进行程序优化．在程序设计中，需要采用一个七进制计数器，所谓七进制即“逢七进一”，如1203_（7）表示七进制数，将它转换成十进制形式，是1×7³+2×7²+0×7¹+3×7=444，那么将七进制数_（7）转换成十进制形式是（ ）
A．7¹³-7
B．7¹²-7
C．7¹²-1
D．7¹¹-1

8. 难度：中等

椭圆C：的焦点为F₁，F₂，有下列研究问题及结论：
①曲线与椭圆C的焦点相同；
②一条抛物线的焦点是椭圆C 的短轴的端点，顶点在原点，则其标准方程为x²=±6y；
③若点P为椭圆上一点，且满足，则=8．
则以上研究结论正确的序号依次是（ ）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③

二、填空题

9. 难度：中等

如果双曲线上一点P到焦点F₁的距离等于7，那么点P到另一个焦点F₂的距离是    ．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=（x+2）e^2x，则f'（0）=    ．

11. 难度：中等

已知向量=（2，-1，2），=（1，0，3），则cos∠OAB=    ．

12. 难度：中等

当x、y满足不等式组时，目标函数t=x+y的最大值是    ．

13. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ+c，其中c为常数，则该数列{a_n}为等比数列的充要条件是    ．

14. 难度：中等

为迎接2010年11至27日在广州举办的第16届亚运会，某高台跳水运动员加强训练，经多次统计与分析，得到t 秒时该运动员相对于水面的高度（单位：m）是h（t）=-4.8t²+8t+10．则该运动员在t=2秒时的瞬时速度为    m/s，经过    秒后该运动员落入水中．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）的图象在点处的切线方程．

16. 难度：中等

某市在进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园．经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为70m、90m、120m．
（1）求该三角形区域最大角的余弦值；
（2）求该三角形区域的面积．

17. 难度：中等

如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面ABCD是正方形，CC₁=3，CD=2，且∠C₁CB=∠C₁CD=60°．
（1）设，试用表示；
（2）O为四棱柱的中心，求CO的长；
（3）求证：A₁C⊥BD．

18. 难度：中等

斜率为的直线l经过抛物线y²=2px的焦点F（1，0），且与抛物线相交于A、B两点．
（1）求该抛物线的标准方程和准线方程；
（2）求线段AB的长．

19. 难度：中等

某热电厂积极推进节能减排工作，技术改造项目“循环冷却水系统”采用双曲线型冷却塔（如右图），以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用，从而实现热电系统循环水的零排放．
（1）冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，要求它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为20m，且双曲线的离心率为，试求冷却塔的高应当设计为多少？
（2）该项目首次需投入资金4000万元，每年节能后可增加收入600万元．投入使用后第一年的维护费用为30万元，以后逐年递增20万元．为使年平均节能减排收益达到最大值，多少年后报废该套冷却塔系统比较适合？

20. 难度：中等

已知函数．定义函数f（x）与实数m的一种符号运算为m⊗f（x）=f（x）•[f（x+m）-f（x）]．
（1）求使函数值f（x）大于0的x的取值范围；
（2）若，求g（x）在区间[0，4]上的最大值与最小值；
（3）是否存在一个数列{a_n}，使得其前n项和．若存在，求出其通项；若不存在，请说明理由．