2010-2011学年北京市海淀区高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z=i（i+2）在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

计算的结果是（ ）
A．-
B．
C．-1
D．1

3. 难度：中等

已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么（ ）

A．-1是函数f（x）的极小值点
B．1是函数f（x）的极大值点
C．2是函数f（x）的极大值点
D．函数f（x）有两个极值点

4. 难度：中等

已知（i为虚数单位），那么实数a，b的值分别是（ ）
A．2，5
B．-3，1
C．-1，1
D．2，-

5. 难度：中等

下面是一段“三段论”推理过程：
对于定义域为R的可导函数f（x），如果f′（x）＜0，那么对于∀M∈R，∃x∈R使得f（x）＜M．
因为函数f（x）=2^-x的导函数f′（x）＜0，
所以，对于-1，∃x∈R使得f（x）＜-1．以上推理中（ ）
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．结论正确

6. 难度：中等

函数f（x）=ax³+x+1有极值的一个充分而不必要条件是（ ）
A．a＜0
B．a＞0
C．a＜-1
D．a＜1

7. 难度：中等

函数y=f（x），x∈[-5，5]的图象如图所示，该曲线在原点处的切线的方程为y=x，且导函数f′（x）是减函数．给出下列四个命题：
①A，B是该图象上的任意两点，那么直线AB的斜率k_AB∈（0，1）；
②点P是该图象在第一象限内的部分上的点，那么直线OP的斜率k_OP∈（0，1）；
③对于∀x₁，x₂∈[-5，5]，f（x₁）+f（x₂）≤2f（）恒成立；
④对于∀x∈[-5，5]，f（x）≤x．
其中所有真命题的序号是（ ）

A．①②③
B．②③④
C．②④
D．①③

8. 难度：中等

若函数f（x）=的图象恰与直线y=b有两个公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．（0，）
B．（-∞，）
C．（0，e）
D．（e，+∞）

二、填空题

9. 难度：中等

已知质点按规律s=3t²+t（距离单位：米；时间单位：秒）运动，那么质点在3秒时的瞬时速度为    米/秒．

10. 难度：中等

在复平面内，点A对应的复数为4+3i，点B对应的复数为-2+i，那么线段AB的中点C到原点的距离为    ．

11. 难度：中等

如图，由曲线y=x²（x≥0）和直线x=0，x=2，y=1所围成的图形（阴影部分）的面积是    ．

12. 难度：中等

已知x₁，x₂，x₃，…，x_n∈（0，+∞）．
若x₁+x₂=1，则y=的最大值为；
若x₁+x₂+x₃=1，则y=的最大值为；

若x₁+x₂+x₃+x₄=1，则y=的最大值为；
…
若x₁+x₂+x₃+…+x_n=1，则y=的最大值为    ．

13. 难度：中等

根据椭圆C₁：的面积为πR²，椭圆C₂：（a＞b＞0）的面积为πab，圆C1绕x轴旋转得到的球的体积为，可推知椭圆C₂绕x轴旋转得到的椭球的体积为    ．

14. 难度：中等

设函数y=f（x）的导函数是y=f′（x），称为函数f（x）的弹性函数．
函数f（x）=2e^3x弹性函数为    ；若函数f₁（x）与f₂（x）的弹性函数分别为与，则y=f₁（x）+f₂（x）（f₁（x）+f₂（x）≠0）的弹性函数为    ．
（用，，f₁（x）与f₂（x）表示）

三、解答题

15. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，D，E分别是棱PB，PC的中点．
（Ⅰ）求证：BC∥平面AED；
（Ⅱ）求证：平面PBC⊥平面PAC．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-2x²+1
（Ⅰ）求函数f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）曲线f（x）上是否存在一点P，使得在点P处的切线平行于直线2x+y+3=0？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-（2a+1）x+alnx（a＞0）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，2]上总存在x₁，x₂，使得（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0成立，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=a₂=2，a₃=3，a_n+2=（n≥2）
（Ⅰ）求a₄，a₅；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{a_n+1-λa_n}（n∈N^*）是等差数列？若存在，求出所有满足条件的λ的值；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）设b_n=a_n+2-μa_n+1（n∈N^*），若数列{b_n}是等比数列，求实数μ的值．