2005-2006学年北京市清华附中高一（下）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（x+ϕ）+cos（x+ϕ）为奇函数，则ϕ的一个取值为 （ ）
A．0
B．
C．-
D．π

3. 难度：中等

在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角为（ ）弧度
A．1
B．2
C．3
D．4

4. 难度：中等

如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是（ ）
A．ab＞ac
B．c（b-a）＞0
C．cb²＜ab²
D．ac（a-c）＜0

5. 难度：中等

设向量=（cos23°，cos67°），=（cos53°，cos37°），=（ ）
A．
B．
C．-
D．-

6. 难度：中等

在△ABC中，若a²=b²+c²+bc，则A的度数为          （ ）
A．30
B．150
C．60
D．120

7. 难度：中等

设P₁（4，-3），P₂（-2，6），且P在P₁P₂的延长线上，使，则点P的坐标  （ ）
A．（-8，15）
B．（0，3）
C．（-，）
D．（1，）

8. 难度：中等

用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ）
A．
B．
C．
D．20cm²

9. 难度：中等

在△ABC中，若•+²=0，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形

10. 难度：中等

若把一个函数的图象按=（-，-2）平移后得到函数y=cosx的图象，则原图象的函数解析式为（ ）
A．y=cos（x+）+2
B．y=cos（x-）-2
C．y=cos（x+）-2
D．y=cos（x-）+2

11. 难度：中等

下列各式中，值为的是                              （ ）
A．sin15？cos15
B．
C．
D．

12. 难度：中等

稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响．北京市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y（每平方米面积的价格，单位为元）与第x季度之间近似满足：y=500sin（ωx+ϕ）+9500 （ϕ＞0），已知第一、二季度平均单价如下表所示：

x	1	2	3
y	10000	9500	？

则此楼群在第三季度的平均单价大约是                   （ ）
A．10000元
B．9500元
C．9000元
D．8500元

二、填空题

13. 难度：中等

已知=（，2sinα），=（cosα，），且∥，则锐角α的值为    ．

14. 难度：中等

已知||=4，||=2，|-2|=2，与的夹角为θ，则cosθ等于    ．

15. 难度：中等

函数y=cos2x-4cosx，x∈[-，]的值域是    ．

16. 难度：中等

若点P分有向线段的比为，则点A分有向线段的比为    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，设=，=，点D在线段BC上，且=3，则用表示为     ．

18. 难度：中等

下列命题：
①若⋅=⋅，则=；
②若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量；
③若，则；
④若与是单位向量，则．
其中真命题的序号为    ．

三、解答题

19. 难度：中等

求与向量=（3，-1）和=（1，3）的夹角均相等，且模为2的向量的坐标．

20. 难度：中等

在△ABC中，已知，该三角形的最长边为1，
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）求△ABC的面积S．

21. 难度：中等

已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），．
（1）若，求角α的值；
（2）若，求的值．

22. 难度：中等

已知向量、、、及实数x、y满足，，，若，且．
（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）及其定义域；
（2）若x∈[1，2]时，不等式f（x）≥mx-16恒成立，求实数m的取值范围．

四、选择题

23. 难度：中等

（1+tan21°）（1+tan22°）（1+tan23°）（1+tan24°）的值是          （ ）
A．16
B．8
C．4
D．2

24. 难度：中等

已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为（ ）
A．akm
B．akm
C．akm
D．2akm

25. 难度：中等

给出下列五个命题：
①长度相等，方向不同的向量叫做相反向量；
②设，是同一平面内的两个不共线向量，则对于平面内的任意一个向量，有且只有一对实数λ₁，λ₂，使=λ₁+λ₂；
③∥的充要条件是存在唯一的实数λ使=λ；
④=；
⑤λ（+）•=λ•+λ•．
其中正确命题的个数是                                （ ）
A．2
B．3
C．4
D．其它

26. 难度：中等

已知tan（α-β）=，tanβ=，则tan（α-2β）=（ ）
A．
B．
C．
D．-

27. 难度：中等

已知非零向量与满足（+）•=0，且•=-，则△ABC为（ ）
A．等腰非等边三角形
B．等边三角形
C．三边均不相等的三角形
D．直角三角形

28. 难度：中等

若f（sinx）=3-cos2x，则f（cosx）=（ ）
A．3-cos2
B．3-sin2
C．3+cos2
D．3+sin2

五、填空题

29. 难度：中等

非空集合G关于运算⊕满足：（1）对任意的a，b∈G，都有a⊕b∈G，（2）存在e∈G，都有a⊕e=e⊕a=a，则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：
①G={非负整数}，⊕为整数的加法．
②G={偶数}，⊕为整数的乘法．
③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法．
④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法．
⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法．
其中G关于运算⊕为“融洽集”的是    ．（写出所有“融洽集”的序号）

30. 难度：中等

已知函数y=2cos x （0≤x≤2π）的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则其面积为    ．

六、解答题

31. 难度：中等

设函数f（x）=•，其中向量=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），x∈R．
（1）若f（x）=1-，且x∈[-，]，求x；
（2）若函数y=2sin2x的图象按向量=（m，n），（|m|＜）平移后得到函数y=f（x）的图象，求实数m、n的值．

32. 难度：中等

（理）已知向量=（1，1），向量和向量的夹角为，||=，•=-1．
（1）求向量；
（2）若向量与向量=（1，0）的夹角为，向量=（cosA，），其中A、B、C为△ABC的内角a、b、c为三边，b²+ac=a²+c²，求|+|的取值范围．