2009-2010学年江苏省南通市如皋市高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设A是椭圆长轴的一个端点，B₁B是短轴，∠BAB₁=60°，则椭圆的离心率为    ．

2. 难度：中等

已知，向量与垂直，则实数λ的值为    ．

3. 难度：中等

原命题“如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等”的否命题、逆命题、逆否命题三个命题中为真命题的个数为    ．

4. 难度：中等

中心在原点，一个焦点坐标为（0，5），短轴长为4的椭圆方程为    ．

5. 难度：中等

双曲线的离心率e＜2，则k的取值范围是    ．

6. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，若PA=AB，则PC与面PAB所成角的余弦值为    ．

7. 难度：中等

若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是y=±3x，则双曲线的方程为    ．

8. 难度：中等

如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是    ．

9. 难度：中等

用长、宽分别为a、b（a＞b）的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的体积为    ．

10. 难度：中等

已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为，棱台的高为4，则它的侧面积为    ．

11. 难度：中等

设a，b，c为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列四个命题中的真命题是    （写出所有真命题的序号）
①．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ                ②若a⊥b，b⊥c，则a∥c或a⊥c
③若a⊂α，b、c⊂β，a⊥b，a⊥c，则α⊥β   ④若a⊥α，b⊂β，a∥b，则α⊥β

12. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁各个表面的12条对角线中，与BD₁垂直的有    条．

13. 难度：中等

已知F₁、F₂是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，则的取值范围是    ．

14. 难度：中等

一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为4，则该等腰直角三角形的斜边长为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

若椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点，求椭圆及双曲线的方程．

16. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁，且这个几何体的体积为．
（1）证明：直线A₁B∥平面CDD₁C₁；
（2）求棱A₁A的长；
（3）求经过A₁，C₁，B，D四点的球的表面积．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+mx+n（m∈R，n∈R）．
（1）若n=1时，“至少存在一个实数x，使f（x）＜0成立”（命题表示为∃x∈R，使f（x）＜0成立）为假命题，求m的取值范围；
（2）命题P：函数y=f（x）在（0，1）上有两个不同的零点，命题Q：-2＜m＜0，0＜n＜1．试分析P是Q的什么条件，并说明理由．（是充要条件、充分不必要条件、必要条件、既不充分也不必要条件）

18. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB．点E在棱PA上，．
（1）求异面直线PA与CD所成的角；
（2）点E在棱PA上，且，当λ为何值时，有PC∥平面EBD；
（3）在（2）的条件下求二面角A-BE-D的平面角的余弦值．

19. 难度：中等

椭圆C：的两个焦点F₁（-c，0）、F₂（c，0），M是椭圆C上一点，且满足．
（1）求椭圆的离心率e的取值范围；（2）设O为坐标原点，P是椭圆C上的一个动点，试求的取值范围．

20. 难度：中等

椭圆C：（a＞b＞0），A₁、A₂、B₁、B₂分别为椭圆C的长轴与短轴的端点．
（1）设点M（x，0），若当且仅当椭圆C上的点P在椭圆长轴顶点A₁、A₂处时，|PM|取得最大值与最小值，求x的取值范围；
（2）若椭圆C上的点P到焦点距离的最大值为3，最小值为l，且与直线l：y=kx+m相交于A，B两点（A，B不是椭圆的左右顶点），并满足AA₂⊥BA₂．试研究：直线l是否过定点？若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．