2007-2008学年浙江省绍兴市高级中学高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在下列命题中：
①若两个非零向量和共线则 ，所在的直线平行；
②若，所在的直线是异面直线，则，一定不共面；
③若，，三向量两两共面，则，，三向量一定也共面；
④若，，是三个非零向量，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为+z（x，y，z∈R）．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

2. 难度：中等

已知点P在椭圆上，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，△F₁PF₂是直角三角形，则这样的点P有（ ）
A．2个
B．4个
C．6个
D．8个

3. 难度：中等

函数f（x）的图象经过原点，且它的导函数y=f′（x）是如图所示的一条直线，则函数y=f（x）的图象的顶点在（ ）

A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

4. 难度：中等

已知点P（-1，3，-4），且该点在三个坐标平面yoz平面，zox平面，xoy平面上的射影的坐标依次为（x₁，y₁，z₁），（x₂，y₂，z₂）和（x₃，y₃，z₃），则（ ）
A．x₂²+y₃²+z₁²=0
B．x₁²+y₂²+z₃²=0
C．x₃²+y₁²+z₂²=0
D．以上结论都不对

5. 难度：中等

已知动点P（x、y）满足10=|3x+4y+2|，则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．无法确定

6. 难度：中等

已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为R的球面上，且满足：，则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为（ ）
A．2R²
B．3R²
C．4R²
D．R²

7. 难度：中等

已知=（1，2，3），=（2，1，2），=（1，1，2），点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设函数y=xsinx+cosx的图象上的点（x，y）的切线的斜率为k，若k=g（x），则函数k=g（x），x∈[-π，π]的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设A、B两点的坐标分别为（-1，0），（1，0），条件甲：； 条件乙：点C的坐标是方程 +=1 （y≠0）的解．则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件

10. 难度：中等

设x，y∈R，集合A={（x，y）|x²-y²=1}，B={（x，y）|y=t（x-1）+2}，若A∩B为单元素集，则t值的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

11. 难度：中等

在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：S）存在关系h（t）=-4.9t²+6.5t+10，则起跳后1s的瞬时速度是    ．

12. 难度：中等

椭圆的焦距为2，则m的值等于    ．

13. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p为    ．

14. 难度：中等

函数y=2x³-3x²-12x+5在[0，3]上的最大值和最小值分别是    ．

15. 难度：中等

过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P：交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知二面角α-l-β，点A∈α，B∈β，AC⊥l于点C，BD⊥l于D，且AC=CD=DB=1，求证：AB=2的充要条件α-l-β=120．

17. 难度：中等

动点P到两定点A（a，0），B（-a，0）连线的斜率的乘积为k，试求点P的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线？

18. 难度：中等

如图所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=1，∠ACB=90°，点D为AB的中点．
1）求证：BC₁∥面A₁DC；
2）求棱AA₁的长，使得A₁C与面ABC₁所成角的正弦值等于．

19. 难度：中等

设函数f（x）=-x（x-a）²（x∈R），其中a∈R．
（1）、当f（x）奇函数时求a的值
（2）、当a=1时，求曲线y=f（x）过点（0，f（0））的切线方程；（4分）
（3）、当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；（6分）

20. 难度：中等

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求证：λ₁+λ₂为定值．