2011-2012学年湖北省黄冈中学高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列叙述错误的是（ ）
A．若事件A发生的概率为P（A），则0≤P（A）≤1
B．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
C．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同
D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的

2. 难度：中等

命题“若x²＜1，则-1＜x＜1”的逆否命题是（ ）
A．若x²≥1，则x≥1或x≤-1
B．若-1＜x＜1，则x²＜1
C．若x＞1或x＜-1，则x²＞1
D．若x≥1或x≤-1，则x²≥1

3. 难度：中等

从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在[4.8，4.85）g范围内的概率是（ ）
A．0.62
B．0.38
C．0.7
D．0.68

4. 难度：中等

某地共有10万户居民，从中随机调查了1000户，拥有彩电的调查结果如下表：

彩电	城市	农村
有	432	400
无	48	120

若该地区城市与农村住户之比为4：6，估计该地区无彩电的农村总户数为（ ）
A．0.123万户
B．1.385万户
C．1.8万户
D．1.2万户

5. 难度：中等

某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为8，12，10，11，9．若这组数据的平均数为x，方差为y，则|x-y|的值为（ ）
A．0
B．2
C．4
D．8

6. 难度：中等

如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲，乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0-9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a₁，a₂，则一定有（ ）

A．a₁＞a₂
B．a₂＞a₁
C．a₁=a₂
D．a₁，a₂的大小不确定

7. 难度：中等

已知x与y之间的一组数据如表，则y与x的线性回归方程=x+必过（ ）

x		1	2	3
y	1	3	5	7

A．点（2，2）
B．点（1.5，0）
C．点（1，2）
D．点（1.5，4）

8. 难度：中等

已知α，β，γ是平面，a，b是两条不重合的直线，下列说法正确的是（ ）
A．“若a∥b，a⊥α，则b⊥α”是随机事件
B．“若a∥b，a⊂α，则b∥α”是必然事件
C．“若a⊥γ，β⊥γ，则α⊥β”是必然事件
D．“若a⊥α，a∩b=P，则b⊥α”是不可能事件

9. 难度：中等

已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m，a_n使得=4a₁，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．不存在

二、填空题

11. 难度：中等

点P（2，-3，-5）关于y轴对称的点的坐标为    ．

12. 难度：中等

某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1-200编号，并按编号顺序平均分为40组（1-5号，6-10号，…，196-200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是    ．

13. 难度：中等

右边的程序运行时输出的结果是    ．

14. 难度：中等

用秦九韶算法计算多项式f（x）=8x⁴+5x³+3x²+2x+1在x=2时的值时，v₂=    ．

15. 难度：中等

已知a＞0，命题p：函数y=a^x在R上单调递减，q：设函数y=，函数y＞1恒成立，若p和q只有一个为真命题，则a的取值范围    ．

三、解答题

16. 难度：中等

某校高二数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若130～140分数段的人数为2人．
（1）估计这所学校成绩在90～140分之间学生的参赛人数；
（2）估计参赛学生成绩的众数、中位数和平均数．

17. 难度：中等

设关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．
（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

18. 难度：中等

为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

19. 难度：中等

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方体，求：
（1）直线AC₁与平面AA₁B₁B所成角的正切值；
（2）二面角B-AC₁-B₁的大小．

20. 难度：中等

根据如图所示的程序框图，输入一个正整数n，将输出的x值依次记为x₁，x₂，x₃，…，x_n；输出的y值依次记为y₁，y₂，y₃，…，y_n．
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）写出y₁，y₂，y₃，y₄的值，由此猜想出数列{y_n}的通项公式；
（3）若z_n=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n，求z_n．

21. 难度：中等

已知A，B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点，线段AB的长为2，D是AB的中点．
（1）求动点D的轨迹C的方程；
（2）若过点（1，0）的直线l与曲线C交于不同两点P、Q，
①当|PQ|=3时，求直线l的方程；
②试问在x轴上是否存在点E（m，0），使•恒为定值？若存在，求出E点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．