2010-2011学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

直线5x-2y-10=0与两坐标轴围成的三角形面积是（ ）
A．
B．5
C．10
D．20

2. 难度：中等

如图，下列哪个运算结果可以用向量表示（ ）
A．（3+4i）i
B．（3-4i）i
C．（4-3i）i
D．（4+3i）i

3. 难度：中等

“a=3”是“直线ax-y+2=0与直线6x-2y+c=0平行”的（ ）
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

记I为虚数集，设a，b∈R，x，y∈I．则下列类比所得的结论正确的是（ ）
A．由a•b∈R，类比得x•y∈I
B．由a²≥0，类比得x²≥0
C．由（a+b）²=a²+2ab+b²，类比得（x+y）²=x²+2xy+y²
D．由a+b＞0⇒a＞-b，类比得x+y＞0⇒x＞-y

5. 难度：中等

设x、y、z是空间不同的直线或平面，则能使x∥y成立的条件是（ ）
A．直线x，y平行于平面z
B．平面x，y垂直于平面z
C．直线x，平面y平行平面z
D．直线x，y垂直平面z

6. 难度：中等

已知三棱锥A-BCD的各棱长均为1，且E是BC的中点，则•=（ ）
A．
B．
C．
D．-

7. 难度：中等

如图，平面截圆柱，截面是一个椭圆，若截面与圆柱底面所成的角为60°，则椭圆的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点F作斜率为的直线交抛物线于A、B两点，若（λ＞1），则λ=（ ）
A．3
B．4
C．
D．

9. 难度：中等

由a，b，c，d，e这5个字母排成一排，a，b都不与c相邻的排法个数为（ ）
A．36
B．32
C．28
D．24

10. 难度：中等

已知函数f （ x ）=sinx-2x，若f（x²+y²+4x+2）≥0，则x²+y²+4y+2的最大值为（ ）
A．
B．3
C．12
D．16

二、填空题

11. 难度：中等

设曲线y=x³-2x+4在点（1，3）处的切线为l，则直线l的倾斜角为    ．

12. 难度：中等

给定两个命题p，q，由它们组成四个命题：“p∧q”、“p∨q”、“￢p”、“￢q”．其中正真命题的个数是    ．

13. 难度：中等

已知椭圆非曲直的离心率为，连接椭圆的四个顶点所得到的四边形的面积为，则椭圆的标准方程为    ．

14. 难度：中等

把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥C-ABD，其正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为    ．

15. 难度：中等

某一同学从学校到家要经过三个路口，在每一路口碰到红灯的概率分别为，且各个路口的红绿灯互不影响，则从学校到家至少碰到一个红灯的概率为    ．

16. 难度：中等

已知二项式（+）ⁿ的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中x的系数等于    ．

17. 难度：中等

设直线l：y=kx+m （k、m∈Z）与椭圆交于不同两点B、D，与双曲线交于不同两点E、F．满足
|DF|=|BE|的直线l有     条．

三、解答题

18. 难度：中等

某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间进行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，根据以往经验，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛输赢互不影响．若甲第n局的得分记为a_n，令S_n=a₁+a₂+…+a_n
（Ⅰ）求S₃=5的概率；
（Ⅱ）若ξ=S₂，求ξ的分布列及数学期望．

19. 难度：中等

抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程为x=-2，该抛物线上的点到其准线的距离与到定点N的距离都相等，以N为圆心的圆与直线
l₁：y=x和l₂：y=-x都相切．
（Ⅰ）求圆N的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l同时满足下列两个条件，若存在，求出的方程；若不存在请说明理由．
①l分别与直线l₁和l₂交于A、B两点，且AB中点为E（4，1）；
②l被圆N截得的弦长为2．

20. 难度：中等

如图，平面EAD⊥平面ABFD，△AED为正三角形，四边形ABFD为直角梯形，且∠BAD=90°，
AB∥DF，AD=a，AB=a，DF=．
（I）求证：EF⊥FB；
（II）求二面角A-BF-E的大小；
（Ⅲ）点P是线段EB上的动点，当∠APF为直角时，求BP 的长度．

21. 难度：中等

已知函数．
（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；
（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅲ）求证：（n∈N^*）．