2010-2011学年浙江省宁波市慈溪中学高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知z=（1-2sinθ）+（2cosθ+）i（0＜θ＜π）是纯虚数，则θ=（ ）
A．
B．
C．
D．或

2. 难度：中等

已知集合A={y|y=log₂x，＜x＜2}，B={y|y=（）^x，0＜x＜1}，则A∩B为（ ）
A．
B．（0，2）
C．
D．

3. 难度：中等

已知，则的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y=a^x（a＞0，a≠1）的图象过区域M的a的取值范围是（ ）
A．[1，3]
B．[2，]
C．[2，9]
D．[，9]

5. 难度：中等

函数f（x）=xcosx的导函数f′（x）在区间[-π，π]上的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设P、Q为△ABC所在平面内的两点，且，=+则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

正四棱锥相邻两个侧面所成的二面角的平面角为α，侧面与底面的二面角的平面角为β，则2cosα+cos2β的值是（ ）
A．1
B．2
C．-1
D．

8. 难度：中等

给出如图的一个直角三角形数阵；满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，如果记第一行的数为a₁，第二行的第一个数为a₂，第二个数为a₃，第三行的第一个数为a₄，…，则a₈₃=（ ）
A．
B．
C．2
D．1

9. 难度：中等

已知双曲线，其右焦点为F，P是其上一点，点M满足，，则的最小值为（ ）
A．3
B．
C．2
D．

10. 难度：中等

已知函数，则函数F（x）=xf（x）-1的零点个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

二、填空题

11. 难度：中等

已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量=（，-1），=（cosA，sinA）．若⊥，且acosB+bcosA=csinC，则角B=    ．

12. 难度：中等

公差不为零的等差数列{a_n}中，2a₃-a₇²+2a₁₁=0，数列{b_n}是等比数列，且b₇=a₇，则log₂（b₆b₈）的值为    ．

13. 难度：中等

直线ax+by+c=0与圆x²+y²=4相交于两点A、B，若c²=a²+b²，O为坐标原点，则=    ．

14. 难度：中等

一几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为    ．

15. 难度：中等

如图，已知F₁，F₂是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF₂与圆x²+y²=b²相切于点Q，且点Q为线段PF₂的中点，则椭圆C的离心率为    ．

16. 难度：中等

设函数f（x）=（a＜0）的定义域为D，若所有点（s，f（x））（s，t∈D）构成一个正方形区域，则a的值为    ．

17. 难度：中等

已知矩形ABCD中AB=4，BC=3，将其沿对角线AC折起，形成四面体ABCD，则以下命题正确的是：    （写出所有正确命题的序号）
①四面体ABCD体积最大值为；
②四面体ABCD中，AB⊥CD；
③四面体ABCD的侧视图可能是个等腰直角三角形；
④四面体ABCD的外接球表面积是25π．

三、解答题

18. 难度：中等

若向量，其中ω＞0，记函数，若函数f（x）的图象与直线y=m（m为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差为π的等差数列．
（1）求f（x）的表达式及m的值；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移，得到y=g（x）的图象，当时，g（x）=cosα的交点横坐标成等比数列，求钝角α的值．

19. 难度：中等

已知集合A=[2，log₂t]，集合B={x|x²-8x+12≤0}，x，t∈R，且A⊆B．
（1）对于区间[a，b]，定义此区间的“长度”为b-a，若A的区间“长度”为1，试求t的值．
（2）某个函数f（x）的值域是B，且f（x）∈A的概率不小于，试确定t的取值范围．

20. 难度：中等

三棱锥A-BCD，其中△BCD为直角三角形，∠BDC=90°，AB=AC=AD=5，BD=4，CD=．
（1）求证：面BCD⊥面ABC
（2）求二面角C-AD-B的平面角．

21. 难度：中等

设F₁、F₂分别是椭圆+y²=1的左、右焦点．
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求向量乘积的取值范围；
（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且∠MON为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
（3）设A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．求四边形AEBF面积的最大值．

22. 难度：中等

已知函数在[3，+∞）上是增函数，
（1）求实数a的取值范围；
（2）在（1）的结论下，设，x∈[0，ln3]，求函数g（x）的最小值．