2010-2011学年山东省济宁市梁山二中高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

（1-i）²•i=（ ）
A．2-2i
B．2+2i
C．-2
D．2

2. 难度：中等

的值是（ ）
A．
B．
C．
D．π

3. 难度：中等

函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在（a，b）内的极大值点有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

4. 难度：中等

下面几种推理中是演绎推理的序号为（ ）
A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电
B．猜想数列{a_n}的通项公式为（n∈N₊）
C．半径为r圆的面积S=πr²，则单位圆的面积S=π
D．由平面直角坐标系中圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，推测空间直角坐标系中球的方程为（x-a）²+（y-b）²+（z-c）²=r²

5. 难度：中等

若复数z=（2m²-3m-2）+（m²-3m+2）i是纯虚数，则实数m的值为（ ）
A．1或2
B．-或2
C．-
D．2

6. 难度：中等

在用数学归纳法证明时，在验证当n=1时，等式左边为（ ）
A．1
B．1+a
C．1+a+a²
D．1+a+a²+a³

7. 难度：中等

若∫^k（2x-3x²）dx=0，则k等于（ ）
A．0
B．1
C．0或1
D．以上均不对

8. 难度：中等

由曲线y=x²+2与y=3x，x=0，x=1所围成的平面图形的面积为（ ）
A．
B．1
C．
D．2

9. 难度：中等

设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设函数f（x）在x处可导，则的值为（ ）
A．
B．
C．2f'（x）
D．-2f'（x）

11. 难度：中等

若f（x）=x³+2ax²+3（a+2）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是（ ）
A．-a＜a＜2
B．a＞2或a＜-1
C．a≥2或a≤-1
D．a＞1或a＜-2

12. 难度：中等

曲线y=x³+x-2在点P处的切线平行于直线y=4x，则点P的坐标是（ ）
A．（0，1）
B．（1，0）
C．（-1，-4）或（1，0）
D．（-1，-4）

二、填空题

13. 难度：中等

若=a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），则a+b=    ．

14. 难度：中等

观察等式：
①sin²30°+cos²60°+sin30°cos60°=
②sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°=
③sin²15°+cos²45°+sin15°cos45°=
归纳各等式的共同特征，写出一个能反映一般规律的等式    ．

15. 难度：中等

函数f（x）=，则f^′（）=    ．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}中，（n为正整数），依次计算a₂，a₃，a₄后，归纳、猜想出a_n=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知（2x-1）+i=y-（3-y）i，其中x，y∈R，求x，y的值．

18. 难度：中等

计算：（1）
（2）．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+ax²+4x-3，当x=-2时，函数f（x）有极值．
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）求函数f（x）过点P（1-2）的切线方程．

20. 难度：中等

证明：对于任意实数x，y都有x⁴+y⁴≥．

21. 难度：中等

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．

22. 难度：中等

已知数列，计算s₁，s₂，s₃，s₄，猜想s_n的表达式，并用数学归纳法证明猜想的正确性．