2010-2011学年江苏省无锡一中高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

在复数范围内分解因式x⁴-1=    ．

2. 难度：中等

已知（x+2）⁴=a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a，则a₁+a₂+a₃+a₄=    ．

3. 难度：中等

从4名男生、3名女生中任选3人参加一次公益活动，其中男生、女生均不少于1人的选法有中    ．（用数字作答）

4. 难度：中等

平面内“正三角形内切圆半径是高的三分之一”类比到空间中的结论为“正四面体的内切球半径是高的    ”．

5. 难度：中等

设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=3，若f（1）=2，则f（2009）=    ．

6. 难度：中等

用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成没有重复数字的5位奇数的个数为    ．

7. 难度：中等

位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右的概率都是，质点P移动五次后位于点（2，3）的概率为    ．（用数字作答）

8. 难度：中等

某人每次射击命中目标的概率均为0.5，现连续射击3次，则击中目标次数X的数学期望为    ．

9. 难度：中等

若多项式x²+x¹⁰=a+a₁（x+1）+…+a₉（x+1）⁹+a₁₀（x+1）¹⁰，则a₉=    ．

10. 难度：中等

王先生忘记了自己电脑的密码，但记得密码是由两个3，一个6和一个9组成的四位数，于是他用这四个数字随意排成一个四位数输入电脑，则其能一次就打开电脑的概率是    ．

11. 难度：中等

A、B、C、D、E五人住进编号为1，2，3，4，5的五个房间，每个房间只住一个人，则B不住2号房间，且B、C两人不住编号相邻房间的住法种数为    ．

12. 难度：中等

某射手射击1次，击中目标的概率是0.9．他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9；
②他恰好击中目标3次的概率是0.9³×0.1；
③他至少击中目标1次的概率是1-0.1⁴．
其中正确结论的序号是     （写出所有正确结论的序号）．

13. 难度：中等

计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0～9和字母A～F共16个记数符号，这些符号与十进制的数对应关系如下表：

十六进制		1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
十进制		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

例如，用十六进制表示：E+D=1B＜则用十六进制表示：B×C=    ．

14. 难度：中等

平面上有n（n≥2，n∈N）个圆两两相交，则最多有    个交点．

二、解答题

15. 难度：中等

已知z为负数，且（1+3i）z为纯虚数，|z|=．
（Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）若复数ω满足|2ω-z|≤1，求|ω|的最大值．

16. 难度：中等

已知展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x项的系数为112．
（Ⅰ）求m、n的值；
（Ⅱ）求展开式中含x²项的系数．

17. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：
（1）∠DEA=∠DFA；
（2）AB²=BE•BD-AE•AC．

18. 难度：中等

已知曲线C：y²-x²=2，将曲线C绕坐标原点顺时针旋转30°得到曲线C′．
（Ⅰ）求曲线C′的方程；
（Ⅱ）求曲线C′的焦点坐标．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且3S_n=4a_n-4ⁿ⁺¹-4（n∈N^*），令．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f（n）=a_n-2（n∈N^*），用数学归纳法证明f（n）是18的倍数．

20. 难度：中等

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）利用第（Ⅰ）问的结果证明C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n•2^n-1；  
（Ⅲ）其实我们常借用构造等式，对同一个量算两次的方法来证明组合等式，譬如：（1+x）¹+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=；，由左边可求得x²的系数为C₂²+C₃²+C₄²+…+C_n²，利用右式可得x²的系数为C_n+1³，所以C₂²+C₃²+C₄²+…+C_n²=C_n+1³．请利用此方法证明：（C_2n）²-（C_2n¹）²+（C_2n²）²-（C_2n³）²+…+（C_2n²ⁿ）²=（-1）ⁿC_2nⁿ．