2011-2012学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知命题p：存在x∈R，使tanx=1，命题q：x²-3x+2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；
②命题“p∧￢q”是假命题；
③命题“￢p∨q”是真命题；
④命题“￢p∨￢q”是假命题．
其中正确的是（ ）
A．②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④

2. 难度：中等

已知向量=（1，2），=（x，-4），若∥，则•等于（ ）
A．-10
B．-6
C．0
D．6

3. 难度：中等

=（ ）
A．3+i
B．-3-i
C．-3+i
D．3-i

4. 难度：中等

在等比数列{a_n}（n∈N^*）中，若，则该数列的前10项和为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知tanθ=2，则=（ ）
A．2
B．-2
C．0
D．

6. 难度：中等

设{a_n}是公差为正数的等差数列，若a₁+a₂+a₃=15，a₁a₂a₃=80，则a₁₁+a₁₂+a₁₃=（ ）
A．120
B．105
C．90
D．75

7. 难度：中等

lgx-=0有解的区间是（ ）
A．（0，1]
B．（10，100]
C．（1，10]
D．（100，+∞）

8. 难度：中等

若x≠y，且两个数列x，a₁，a₂，y和x，b₁，b₂，b₃，y各成等差数列，那么=（ ）
A．
B．
C．1
D．

9. 难度：中等

为了得到函数y=sin（2x-）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（ ）
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度

10. 难度：中等

已知，则sin（）的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

点P在曲线y=x³-x+，上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）
A．[0，]
B．[0，）∪[，π）
C．[，π）
D．（，]

12. 难度：中等

已知函数y=f（x+2）是定义域为R的偶函数，且当x≥2时，f（x）=3^x-1，则当x＜2时，f（x） 的解析式为（ ）
A．f（x）=3^x-2-1
B．f（x）=3^2-x-1
C．f（x）=3^4-x-1
D．f（x）=3^x-4-1

二、填空题

13. 难度：中等

若数列{a_n}的前n项和S_n=n²-10n+1（n=1，2，3，…），则此数列的通项公式为    ．

14. 难度：中等

已知向量=（2，4），=（1，1），若向量⊥（+λ），则实数λ的值是     ．

15. 难度：中等

设函数的最小正周期为π，且其图象关于直线x=对称，则在下面四个结论中：
（1）图象关于点对称；
（2）图象关于点对称；
（3）在上是增函数；
（4）在上是增函数，
那么所有正确结论的编号为    ．

16. 难度：中等

极坐标系中，直线l的方程为ρsinθ=3，则点到直线l的距离为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知f（x）=-4
（1）求f（x）取得最大值时x的集合，和f（x）的单调递减区间；
（2）求f（x）的最小正周期，并求f（x）在[-，]上的值域．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3且a_n+1=2S_n+3，数列{b_n}满足，且，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列是等比数列，并求{b_n}的通项公式．

19. 难度：中等

如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A₁处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B₁处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A₂处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B₂处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？

20. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，且公差d＞0，其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b_n}的第二项、第三项、第四项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足c_n=c_n-1+b_n（n≥2），且c₁=2，求{c_n}的通项公式．

21. 难度：中等

已知定义在实数集R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，其中a，b，c，d是实数．
（1）若函数f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，并且f（0）=-7，f′（0）=-18，求函数f（x）的表达式；
（2）若a，b，c满足b²-3ac＜0，求证：函数f（x）是单调函数．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx+，其中a为大于零的常数．
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[2，+∞）上的最小值．