2010-2011学年重庆市南开中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知A={y|y=x²}，B={（x，y）|y-2x-3=0}，则集合A∩B中元素的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．无数个

2. 难度：中等

sin75°sin165°-sin15°sin105°的值为（ ）
A．
B．1
C．0
D．

3. 难度：中等

下列命题中，真命题是（ ）
A．若ac＞bc，则a＞b
B．若a＞b，则
C．若a＞b，则ac²＞bc²
D．若a＞b，则a-c＞b-c

4. 难度：中等

已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（ ）
A．（x+1）²+（y-1）²=2
B．（x-1）²+（y+1）²=2
C．（x-1）²+（y-1）²=2
D．（x+1）²+（y+1）²=2

5. 难度：中等

设函数f（x）=cos（|x|+）（x∈R），则f（x）（ ）
A．在区间[-，0]上是增函数
B．在区间[0，]上是增函数
C．在区间[-，]上是增函数
D．在区间[-，]上是减函数

6. 难度：中等

若函数f（x）=（x²+bx+c）e^-x在（-∞，-1），（1，+∞）上单调递减，在（-1，1）上单调递增，则b+c的值为（ ）
A．3
B．-1
C．1
D．-3

7. 难度：中等

把函数y=lg（2x）的图象按向量平移，得到函数y=lg（x-1）的图象，则为（ ）
A．（-1，lg2）
B．（1，-lg2）
C．（-1，-lg2）
D．（，0）

8. 难度：中等

函数的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设，若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x∈[0，1]，使得g（x）=f（x₁）成立，则a的取值范围是（ ）
A．
B．[4，+∞）
C．
D．

10. 难度：中等

已知一正2n（n≥4）边形，其顶点依次为A₁，A₂，…，A_2n，平面上任取一点P，设P关于A₁的对称点为P₁，P₁关于A₂的对称点为P₂，…，P_2n-1关于A_2n的对称点为P_2n，则向量等于（ ）
A．
B．
C．2
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知tan（π+α）=，则sin2α=    ．

12. 难度：中等

等比数列{a_n}中，a₄+a₆=3，则a₄²+2a₄a₆+a₅a₇=    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）在[1，2]上的表达式为f（x）=x，若对于x∈R，有f（x+2）=f（2-x），且f（x+3）=f（x+1），则f（）的值为    ．

14. 难度：中等

若正数a，b满足ab=a+b+8，则ab的最小值为    ．

15. 难度：中等

对于一个非空集合M，将M的所有元素相乘，所得之积定义为集合M的“积”，现已知集合A={3，3，3²，3³，3⁴，3⁵），则A的所有非空子集的“积”之积为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

平面内给定三个向量
（1）求|2+-|；
（2）若，求实数k的值．

17. 难度：中等

已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若，，且

（1）求角A的值；

（2）若a=，b+c=4，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

函数f（x）=x³+ax²+bx-2的图象在与y轴交点的切线方程为y=x+a．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数存在极值，求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n=成公比不为1的等比数列．
（Ⅰ）求证{}为等差数列，并求c的值；
（Ⅱ）设．

20. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x₁，x₂都满足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），当x＜0时，f（x）＜0．
（1）判断并证明f（x）的单调性和奇偶性
（2）是否存在这样的实数m，当时，使不等式
对所有θ恒成立，如存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

函数f（x）=x+，g（x）=x，已知A（x，0），（x＞0），如图，过A作平行于y轴的直线交y=g（x）的图象于A₁，交y=f（x）的图象于P₁，要过P₁作平行于x轴的直线交y=g（x）于A₂，再过A₂作平行于y轴的直线交y=f（x）于P₂，…，这样一直作下去；设△A₁P₁A₂的面积为S₁，…，△A_kP_kA_k+1的面积为S_k，数列{S_n}的前n项和为T_n，并设P_n（x_n，y_n）．
（1）求S₁，S₂；
（2）求证：y_n²=2T_n+2n+x²；
（3）若x=5，求证：45＜y₁₀₀₀＜45.1．