2011-2012学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

（i是虚数单位）的值是（ ）
A．1+3i
B．3+i
C．1-3i
D．3-i

2. 难度：中等

已知命题p：∃x∈（-∞，0），2^x＜3^x；命题q：∀x∈（0，），tanx＞sinx，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q
B．p∨（﹁q）
C．（﹁p）∧q
D．p∧（﹁q）

3. 难度：中等

关于函数f（x）=sinx+cosx下列命题正确的是（ ）
A．函数f（x）最大值为2
B．函数f（x）的一条对称轴为
C．函数f（x）的图象向左平移个单位后对应的函数是奇函数
D．函数y=|f（x）|的周期为2π

4. 难度：中等

根据表格中的数据，可以判定方程e^x-x-2=0的一个根所在的区间为（ ）

x	-1		1	2	3
e^x	0.37	1	2.72	7.39	20.09
x+2	1	2	3	4	5

A．（-1，0）
B．（0，1）
C．（1，2）
D．（2，3）

5. 难度：中等

已知集合A={x|ax-1=0}，B={x|1＜log₂x≤2，x∈N}，且A∩B=A，则a的所有可能值组成的集合是（ ）
A．Φ
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若等比数列{a_n}的前n项和为S_n=3^2n-1+a，则常数a的值等于（ ）
A．-
B．-1
C．
D．3

7. 难度：中等

已知函数f（x）在R上为奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），当x∈（0，2）时f（x）=x²，则f（2011）的值是（ ）
A．1
B．-1
C．2
D．-2

8. 难度：中等

正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且，则数列{a_n}的通项公式为（ ）
A．a_n=2n+3
B．a_n=2n+1
C．a_n=2n-1
D．a_n=2n-3

9. 难度：中等

定义在R上的函数，则（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．c＜a＜b
D．c＜b＜a

10. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=log₂（n∈N^*），设其前n项和为S_n，则使S_n＜-5成立的自然数n（ ）
A．有最小值63
B．有最大值63
C．有最小值31
D．有最大值31

11. 难度：中等

设方程2^-x=|lgx|的两个根为x₁x₂，则下列关系正确的是（ ）
A．0＜x₁x₂＜1
B．x₁x₂=1
C．x₁x₂＞1
D．x₁x₂＜0

12. 难度：中等

①点P在△ABC所在的平面内，且；②点P为△ABC内的一点，且使得取得最小值；③点P是△ABC所在平面内一点，且，上述三个点P中，是△ABC的重心的有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

二、填空题

13. 难度：中等

使函数f（x）=x+2cosx在[0，]上取最大值的x为    ．

14. 难度：中等

O是△ABC所在平面内一点，，则△AOB与△AOC的面积比为    ．

15. 难度：中等

已知各项均为正数的等比数列{a_n}，其前n项和S_n，若S_n=2，S_3n=14，则S_6n=    ．

16. 难度：中等

设动直线x=a与函数f（x）=2sin²（）和g（x）=的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，且a₁=1．{b_n}为等比数列，数列{a_n+b_n}的前三项依次为3，7，13．求
（1）数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）数列{a_n+b_n}的前n项和S_n．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=cosx•+sinx•（x∈（0.）∪（，π））
（1）化简函数f（x）并求f（）的值；
（2）求函数f（x）在（，π）上的单调区间和值域．

19. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c²=a²+b²-ab．
（Ⅰ）若，求角B；
（Ⅱ）设，，试求的取值范围．

20. 难度：中等

如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．
（1）求船的航行速度是每小时多少千米？
（2）又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D、处，问此时船距岛A有多远？

21. 难度：中等

已知函数
（1）若k＞0且函数f（x）在区间（k，k+）上存在极值，求实数k的取值范围
（2）如果存在x∈[2，+∞），使得不等式成立，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

设函数f（x）=x²+2lnx，用f′（x）表示f（x）的导函数，，其中m∈R，且m＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x₁、都有f′（x₁）≤g′（x₂）成立，求m实数的取值范围；
（3）试证明：对任意正数a和正整数n，不等式[f′（a）]ⁿ-2^n-1f′（aⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）．