2011-2012学年福建省四地六校高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

sin=（ ）
A．
B．-
C．
D．-

2. 难度：中等

曲线f（x）=x³+x-2在p处的切线平行于直线y=4x-1，则p点的坐标为（ ）
A．（1，0）
B．（2，8）
C．（2，8）和（-1，-4）
D．（1，0）和（-1，-4）

3. 难度：中等

△ABC中，的面积等于（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设向量和均为单位向量，且（+）²=1，则与夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图，函数y=-x²+2x+1与y=1相交形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是（ ）

A．1
B．
C．
D．2

6. 难度：中等

如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（ ）
A．m
B．m
C．m
D．m

7. 难度：中等

函数y=的图象如图，则（ ）
A．k=，ω=，φ=
B．k=，ω=，φ=
C．k=-，ω=2，φ=
D．k=-2，ω=2，φ=

8. 难度：中等

下列结论错误的是（ ）
A．命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题
B．命题q：∃x∈R，sinx-cosx=．则¬q是假命题
C．为得到函数y=sin（2x-）图象，只需把函数y=sin（2x+的图象向右平移个长度单位
D．若函数f（x）的导数为f′（x），f（x）为f（x）的极值的充要条件是f′（x）=0

9. 难度：中等

已知与为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ）
A．（-∞，-2）
B．（，+∞）
C．（-2，）
D．（-）

10. 难度：中等

设A₁，A₂，A₃，A₄是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（λ∈R），（μ∈R），且，则称A₃，A₄调和分割A₁，A₂，已知点C（c，0），D（d，O）（c，d∈R）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下面说法正确的是（ ）
A．C可能是线段AB的中点
B．D可能是线段AB的中点
C．C，D可能同时在线段AB上
D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上

二、填空题

11. 难度：中等

若命题p：∀x∈R，x²-1＞0，则命题p的否定是     ．

12. 难度：中等

已知函数=    ．

13. 难度：中等

函数y=sinx的定义域为[a，b]，值域为[-1，]，则b-a的最小值为    ．

14. 难度：中等

已知命题p：关于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集为Ø；命题q：函数y=（2a²-a）^x为增函数，若函数“p∨q”为真命题，则实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

某学生对函数f（x）=2x•cosx的性质进行研究，得出如下的结论：
①函数f（x）在[-π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减；
②点是函数y=f（x）图象的一个对称中心；
③函数y=f（x）图象关于直线x=π对称；
④存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立．
其中正确的结论是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=axlnx图象上点（e，f（e））处的切线方程与直线y=2x平行（其中e=2.71828…），g（x）=x²-tx-2．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）求函数f（x）在[n，n+2]（n＞0）上的最小值；
（III）对一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．

17. 难度：中等

已知函数，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）如图，函数f（x）在[-1，1]上的图象与x轴的交点从左到右分别为M、N，图象的最高点为P，求与的夹角的余弦．

18. 难度：中等

已知向量，
（1）当时，求x的取值集合
（2）求函数的单调递增区间．

19. 难度：中等

如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且，∠AOQ=α，α∈[0，π）．
（Ⅰ）若点Q的坐标是，求的值；
（Ⅱ）设函数，求f（α）的值域．

20. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，设f（x）=a²x²-（a²-b²）x-4c²．
（1）若，求角C的大小；
（2）若f（2）=0，求角C的取值范围．

21. 难度：中等

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
（Ⅰ）求a的值
（Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．