2007-2008学年湖北省武汉市华中师大一附中高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={3，4，5}，B={3，6}，P={x|x⊆A}，Q={x|x⊆B}，则P∩Q=（ ）
A．{3}
B．{3，4，5，6}
C．{{3}}
D．{{3}，Φ}

2. 难度：中等

已知条件p：x²+x-2＞0，条件q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围可以是（ ）
A．a≥1
B．a≤1
C．a≥-1
D．a≤-3

3. 难度：中等

将函数f（x）=2^x+1-1的反函数的图象按向量=（1，1）平移后得到函数g（x）的图象，则g （x）的表达式为（ ）
A．g（x）=log₂（x+2）
B．g（x）=log₂
C．g（x）=log₂x-2
D．g（x）=log₂x+2

4. 难度：中等

设实数x满足3^x+log₃x=0，则有（ ）
A．3^x＜1＜
B．x＜1＜3^x
C．1＜x＜3^x
D．x＜3^x＜1

5. 难度：中等

若y=e^|x|（x∈[a，b]）的值域为[1，e²]，则点（a，b）的轨迹是图中的（ ）

A．线段AB和OA
B．线段AB和BC
C．线段AB和DC
D．点A和点C

6. 难度：中等

已知向量，满足，，，1），则=（ ）
A．0
B．4
C．2
D．

7. 难度：中等

若sinα+cosα=1，则对任意实数n，sinⁿα+cosⁿα的取值为（ ）
A．1
B．区间（0，1）
C．
D．不能确定

8. 难度：中等

在△ABC中，三条边长成等差数列且最小角的正弦值与最大角的正弦值之比为3：5，则△ABC是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．锐角三角形

9. 难度：中等

已知函数的图象C上存在一点P满足：若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），恒有y₁+y₂为定值y，则y的值为（ ）
A．
B．
C．
D．-2

10. 难度：中等

关于函数f（x）=的周期，下列说法正确的是（ ）
A．不存在周期
B．周期是不为0的任意有理数
C．周期是任意实数
D．存在最小正周期

二、填空题

11. 难度：中等

若数列{a_n}的通项公式，记f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），试通过计算f（1），f（2），f（3）的值，推测出f（n）=    ．

12. 难度：中等

已知向量=（2，3），，2），若与共线，则等于    ．

13. 难度：中等

对于函数f（x），在使f（x）≥M恒成立的所有常数M中，我们把M中的最大值称为函数f（x）的“下确界”，则函数的下确界为    ．

14. 难度：中等

定义在区间[0，上的函数y=Asin2ωx（A＞0）与直线y=2有且只有一个公共点，且截直线y=1所得的弦长为2，则ω=    ．

15. 难度：中等

某校对文明班的评选设计了a，b，c，d，e五个方面的多元评价指标，并通过经验公式来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好．若某班在自测过程中各项指标显示出0＜c＜d＜e＜b＜a，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为    ．（填入a，b，c，d，e中的某个字母）

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=log₃（ax²+2x+a²）在[2，4]上是增函数，求a的范围．

17. 难度：中等

已知向量，，，2cosα），，
（1）求sin2α及sinα的值；
（2）设函数，求x为何值时，f（x）取得最大值，最大值是多少，并求f（x）的单调增区间．

18. 难度：中等

9个正数排成3行3列如下：
a₁₁a₁₂a₁₃
a₂₁a₂₂a₂₃
a₃₁a₃₂a₃₃
其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等．已知a₁₂=1，，
（1）求a₁₁，第一行数列的公差d₁，及各列数列的公比q；
（2）若保持这9个正数的位置不动，按照（1）中所求的规律排布，补做成一个
n行n列的数表．
a₁₁ a₁₂ a₁₃…，a_1n
a₂₁ a₂₂ a₂₃…，a_2n
a₃₁ a₃₂ a₃₃…，a_3n
…
a_n1 a_n2 a_n3…，a_nn
试求a₁₁+a₂₂+…+a_nn的值．

19. 难度：中等

如图，在△ABC中，，，，PQ是以A为圆心，为半径的圆的直径，求的最大值、最小值，并指出取最大值、最小值时向量的方向．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+bx+c，（a，b，c∈R且a≠0）
（1）当x=1时有最大值1，若x∈[m，n]，（0＜m＜n）时，函数f（x）的值域为，证明：
（2）若b=4，c=-2时，对于给定正实数a有一个最小负数g（a），使得x∈[g（a），0]时，|f（x）|≤4恒成立，问a为何值时，g（a）最小，并求出这个最小值．

21. 难度：中等

设数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，对每一个k∈N^*，在a_k与a_k+1之间插入2^k-1个2，得到新数列{b_n}，设A_n、B_n分别是数列{a_n}和{b_n}的前n项和．
（1）a₁₀是数列{b_n}的第几项；
（2）是否存在正整数m，使B_m=2010？若不存在，请说明理由；否则，求出m的值；
（3）设a_m是数列{b_n}的第f（m）项，试比较：B_f（m）与2A_m的大小，请详细论证你的结论．