2011-2012学年浙江省杭州地区七校联考高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在空间内，可以确定一个平面的条件是（ ）
A．两两相交的三条直线
B．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交
C．三个点
D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点

2. 难度：中等

直线的倾斜角的大小是（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

3. 难度：中等

点（1，-1）到直线x-y+1=0的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；
②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．
其中真命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

7. 难度：中等

若m，n满足m+2n-1=0，则直线mx+3y+n=0过定点（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（ ）
A．2
B．6
C．3
D．2

9. 难度：中等

已知圆P的方程为（x-3）²+（y-2）²=4，直线y=mx与圆P交于A、B两点，直线y=nx与圆P交于C、D两点，则（O为坐标原点）等于（ ）
A．4
B．8
C．9
D．18

10. 难度：中等

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中点，F是侧面CDD₁C₁上的动点，且B₁F∥面A₁BE，则B₁F与平面CDD₁C₁ 所成角的正切值构成的集合是（ ）
A．2
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其侧面积为    ．

12. 难度：中等

已知直线ax+by+c=0与圆x²+y²=1相交于A、B两点，且|AB|=1，则=    ．

13. 难度：中等

已知直线l₁：A₁x+B₁y=1和l₂：A₂x+B₂y=1相交于点P（2，3），则过点P₁（A₁，B₁）、P₂（A₂，B₂）的直线方程为     ．

14. 难度：中等

已知三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=，D为SA的中点，那么直线BD与直线SC所成角的大小为    ．

15. 难度：中等

一个圆锥有三条母线两两垂直，则它的侧面展开图的圆心角为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

△ABC中，已知三个顶点的坐标分别是A（-6，0），B（6，0），C（6，5），
（1）求AC边上的高线BH所在的直线方程；
（2）求∠ACB的角平分线所在直线的方程．

17. 难度：中等

已知圆C与圆x²+y²-7y+10=0相交，所得公共弦平行于已知直线2x-3y-1=0，又圆C经过点A（-2，3），B（1，4），求圆C的方程．

18. 难度：中等

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三视图如图所示，其中主视图AA₁B₁B和左视图B₁BCC₁均为矩形，在俯视图△A₁B₁C₁中，A₁C₁=3，A₁B₁=5，．
（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求证：BC⊥AC₁；
（2）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若D是底边AB的中点，求证：AC₁∥平面CDB₁．
（3）若三棱柱的高为5，求三视图中左视图的面积．

19. 难度：中等

在正△ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足，将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，连接A₁B，A₁P．
（1）求证：A₁E⊥平面BEP；
（2）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小．

20. 难度：中等

已知圆M过定点D（0，2），圆心M在二次曲线上运动．
（1）若圆M与y轴相切，求圆M方程；
（2）已知圆M的圆心M在第一象限，半径为，动点Q（x，y）是圆M外一点，过点Q与 圆M相切的切线的长为3，求动点Q（x，y）的轨迹方程；
（3）若圆M与x轴交于A，B两点，设|AD|=a，|BD|=b，求的取值范围？