2008-2009学年湖北省部分重点中学联考高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

6名医生分别要在3天中选择1天休息，不同方法的种数是（ ）
A．3⁶
B．6³
C．A₆³
D．C₆³

2. 难度：中等

直线m，n，l交于一点，经过这3条直线的平面（ ）
A．有1个
B．有3个
C．有1个或3个
D．有0个或1个

3. 难度：中等

在（1-x）²⁰⁰⁹的展开式中系数最大的项是（ ）
A．第1004项
B．第1005项
C．第1004项和第1005项
D．第1006项

4. 难度：中等

如果A、B是互斥事件，则（ ）
A．A+B为必然事件
B．+为必然事件
C．A与一定为互斥事件
D．与一定为互斥事件

5. 难度：中等

某型号的高射炮，每门发射一次击中飞机的概率为0.6．现在有若干门同时独立地对来犯敌机各射一发炮弹，要求击中敌机的概率超过99%，那么至少配置这种高射炮为（ ）（lg2=0.301）
A．5门
B．6门
C．7门
D．8门

6. 难度：中等

设A、B两地位于北纬α的纬线上，且两地的经度差为90°，若地球的半径为R千米，且时速为20千米的轮船从A地到B地最少需要小时，则α为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

多项式C₁₀¹（x-1）+C₁₀²（x-1）²+C₁₀³（x-1）³+…+C₁₀¹⁰（x-1）¹⁰中，含x³项的系数为（ ）
A．C₁₀³+C₁₀⁴+…+C₁₀¹⁰
B．C₁₀³+C₁₀⁴C₄¹+C₁₀⁵C₅²+…+C₁₀¹⁰C₁₀⁷
C．1
D．0

8. 难度：中等

如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）

A．96
B．84
C．60
D．48

9. 难度：中等

已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点，如果AB=AC=2，BC=2，则球心到平面ABC的距离为（ ）
A．1
B．
C．
D．2

10. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各顶点与各棱中点共20个点中，任取2点连成直线，在这些直线中任取一条，它与对角线BD₁垂直的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

某学生每天早晨乘坐的某一班公共汽车的准时到站率为80%，他在5天乘车中，此班次公共汽车至少有4次准时到站的概率是（结果保留两个有效数字）    ．

12. 难度：中等

某射手射击击中目标的概率为m，他从开始射击到首次击中目标所需要的射击次数ξ的方差为，则m为    ．

13. 难度：中等

如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第    行中从左至右第14与第15个数的比为2：3．

14. 难度：中等

如图，等腰梯形ABCD中，E，F分别是BC上三等分点，AD=AE=1，BC=3，若把三角形ABE和DCF分别沿AE和DF折起，使得B、C两点重合于一点P，则二面角P-AD-E的大小为     ．

15. 难度：中等

将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成n³（n≥3）个同样大小的小正方体．
（1）若n=10，则从1000个小正方体中任取一个，恰好两面涂有颜色的概率为    ．
（2）从n³个小正方体中任取一个，至多有一面涂有颜色的概率为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，（n∈N^*，N≥3）．
（1）求证：；
（2）若a₁+a₂+…+a_n-1=29-n，求正整数n的值．

17. 难度：中等

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上一点．
（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；
（2）当的值为多少时，二面角B-SC-D的大小为120°．

18. 难度：中等

设轮船A有两个发动机，轮船B有四个发动机，如果半数或半数以上的发动机没有故障，轮船就能够安全航行，现设每个发动机发生故障的概率P是t的函数：P=1-e^-λt（其中t为发动机启动后所经历的时间，λ为正常数）．每个发动机工作相互独立．
（1）分别求出轮船A，B安全航行的概率（用P表示）；
（2）根据时间t的变化，比较轮船A和轮船B哪一个更能安全航行？（除发动机发生故障外，不考虑其他因素）．

19. 难度：中等

已知（1-ax）ⁿ展开式的第r，r+1，r+2三项的二次式系数构成等差数列，第n+1-r与第n+2-r项的系数之和为0，而（1-ax）ⁿ⁺¹展开式的第r+1与r+2项的二项式系数之比为1：2．
（1）求（1-ax）ⁿ⁺¹展开式的中间项；
（2）求（1-ax）ⁿ的展开式中系数最大的项．

20. 难度：中等

某校设计了一个试验过关能力比赛的方案，规定：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，且分别按照题目要求独立完成，至少正确完成其中2题的才能过关，已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（2）试用统计知识分析比较两考生，谁的实验操作能力稳定性强，通过的可能性大？

21. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1+1．
（1）若S_n=a₁C_n+a₂C_n¹+a₃C_n²+…+a_n+1C_nⁿ，（n∈N^*），求证：当n为偶数时，S_n-2ⁿ-4n-1能被64整除．
（2）是不是存在等差数列{b_n}，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=n（a_n-1）对一切n∈N^*都成立？若存在，求数列{b_n}的通项公式；若不存在，则请说明理由．
（3）记T_n=1!C_n¹+2!C_n²+3!C_n³+…+n!C_nⁿ（n=1，2，3，…），当n≥2时，求证：（1+）（1+）（1+）…（1+）≤3-．