2009-2010学年重庆市南开中学高三（上）1月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若抛物线y²=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（ ）
A．-2
B．2
C．-4
D．4

2. 难度：中等

下列命题正确的是（ ）
A．若a²＞b²，则a＞b
B．若＞，则a＜b
C．若ac＞bc，则a＞b
D．若＜，则a＜b

3. 难度：中等

设全集U是实数集R，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）

A．{x|-2≤x＜1}
B．{x|-2≤x≤2}
C．{x|1＜x≤2}
D．{x|x＜2}

4. 难度：中等

设x，y∈R，则“xy＞0”是“|x+y|=|x|+|y|”成立的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件

5. 难度：中等

如图，共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为e₁、e₂、e₃、e₄，其大小关系为（ ）

A．e₁＜e₂＜e₄＜e₃
B．e₁＜e₂＜e₃＜e₄
C．e₂＜e₁＜e₃＜e₄
D．e₂＜e₁＜e₄＜e₃

6. 难度：中等

已知直线l₁：ax+y+a-1=0不经过第一象限，且l₁⊥l₂，则直线l₂的倾斜角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象在y轴右侧的第一个最高点为M（2，2），与x轴在原点右侧的第一个交点为N（5，0），则函数f（x）的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知ab≠0，点M（a，b）是圆x²+y²=r²内一点，直线m是以点M为中点的弦所在的直线，直线l的方程是ax+by=r²，则下列结论正确的是（ ）
A．m∥l，且l与圆相交
B．l⊥m，且l与圆相切
C．m∥l，且l与圆相离
D．l⊥m，且l与圆相离

9. 难度：中等

设双曲线，过点C（0，1）且斜率为1的直线交双曲线的两渐近线于点A、B．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知，设函数f（x）的最大值是M，最小值是N，则（ ）
A．M+N=8
B．M-N=8
C．M+N=6
D．M-N=6

二、填空题

11. 难度：中等

若函数f（x）=log₂（4^x-2），则f^-1（1）=    ．

12. 难度：中等

已知F₁、F₂是椭圆的两个焦点，过F₂的直线交椭圆于点A、B．若|AB|=5，则|AF₁|+|BF₁|的值为    ．

13. 难度：中等

已知，与的夹角为45°，若，则实数λ的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}对于任意的p，q∈N^*，有a_p+q=a_p•a_q．若，则a₁₈=    ．

15. 难度：中等

已知双曲线（a，b为大于0的常数），过第一象限内双曲线上任意一点P作切线l，过原点作l的平行线交PF₁于M，则|MP|=    （用a，b表示）．

三、解答题

16. 难度：中等

已知抛物线C：y²=2px（p＞0），焦点F到准线l的距离为2．
（1）求p的值；
（2）过点F作直线交抛物线于点A、B，交l于点M．若点M的纵坐标为-2，求|AB|．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（ωx+φ），其中．
（1）若，求φ的值；
（2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求最小的正实数m，使得函数的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=log_a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数y=f（x）的图象．
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）当0≤x＜1时总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值范围．

19. 难度：中等

等比数列{a_n}单调递增，且满足：a₁+a₆=33，a₃a₄=32．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足：b₁=1且n≥2时，成等比数列，T_n为{b_n}前n项和，，证明：2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+3（n∈N^*）．

20. 难度：中等

已知点A，B的坐标分别是（0，-1），（0，1），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积-．
（1）求点M轨迹C的方程；
（2）若过点D（2，0）的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点D、F（E在D、F之间），试求△ODE与△ODF面积之比的取值范围（O为坐标原点）．

21. 难度：中等

已知实数c≥0，曲线与直线l：y=x-c的交点为P（异于原点O）．在曲线C上取一点P₁（x₁，y₁），过点P₁作P₁Q₁平行于x轴，交直线l于Q₁，过点Q₁作Q₁P₂平行于y轴，交曲线C于P₂（x₂，y₂）；接着过点P₂作P₂Q₂平行于x轴，交直线l于Q₂，过点Q₂作Q₂P₃平行于y轴，交曲线C于P₃（x₃，y₃）；如此下去，可得到点P₄（x₄，y₄），P₅（x₅，y₅），…，P_n（x_n，y_n），设点P坐标为，x₁=b，0＜b＜a．
（1）试用c表示a，并证明a≥1；
（2）证明：x₂＞x₁，且x_n＜a（n∈N^*）；
（3）当时，求证：．