2008-2009学年广东省广州市七区联考高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

（2009年）复数的值是（ ）
A．2-i
B．-2-i
C．1+2i
D．1-2i

2. 难度：中等

（2009年）“a＞b”是“log₃a＞log₃b”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

（2009年）商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N（20，0.2²）（单位kg），任选一袋大米，质量在19.6～20.4kg的概率是（ ）
A．0.6826
B．0.9544
C．0.9974
D．以上都不是

4. 难度：中等

（2009年）抛物线y²=2px（p＞0）上有一点M（m，3）到抛物线焦点的距离为5，则p的值是（ ）
A．1
B．9
C．1或9
D．1或-9

5. 难度：中等

由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．2ln2

6. 难度：中等

已知双曲线的一条渐近线为y=kx（k＞0），离心率，则双曲线方程为（ ）
A．-=1
B．
C．
D．

7. 难度：中等

（2009年） 从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法种数共有（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

（2009年）从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F₁，又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

（2009年）抛物线y=4x²的焦点坐标是    ．

10. 难度：中等

（2009年）一个口袋子中装有7个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出两个球，这两个球颜色不同的概率是    ．（用数字作答）

11. 难度：中等

（2009年）在的展开式中，x³的系数是    ．（用数字作答）

12. 难度：中等

（2009年）掷红、蓝两个骰子，事件A=“红骰子出现4点”，事件B=“蓝骰子出现的点数是偶数”，则在事件B发生的条件下，事件A发生的概率P（A|B）为    ．（用数字作答）

13. 难度：中等

（2009年）若函数（a≠0）在[-1，2]上为增函数，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

（2009年）定义在R上的函数f（x）满足f（2+x）=f（2-x），若方程f（x）=0有且只有三个不相等的实根，且0是其中的一个根，则方程f（x）=0的另外两个根为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

（2009年）若f（1）、f（2）、f（3）、f（4）分别表示（1）、（2）、（3）、（4）各图案中圆圈的个数，按图中的规律：
（1）猜想f（5）；
（2）若n为正整数，猜想f（n），并写出猜想过程．

16. 难度：中等

（2009年）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与．
（1）求乙投球2次都不命中的概率；
（2）若甲、乙各投球1次，两人共命中的次数记为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

17. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）求证：CD⊥AE；
（2）求证：PD⊥面ABE；
（3）求二面角A-PD-C的平面角的正弦值．

18. 难度：中等

设F₁、F₂分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
（1）若椭圆C上的点A（1，）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F₁K的中点的轨迹方程．

19. 难度：中等

某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的投入成本）×年销售量．
（Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加
的比例x应在什么范围内？
（Ⅱ）年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？

20. 难度：中等

（2009年）已知函数f（x）=ax³+3x²-6ax+b，g（x）=3x²+6x+12，h（x）=kx+9，又f（x）在x=2处取得极值9．
（1）求实数a、b的值；
（2）当x∈[-2，+∞）时，f（x）≤h（x）≤g（x）恒成立，求实数k的取值范围．