2011-2012学年江西省新余市新钢中学高三（上）周五第一次考试数学试卷（理科）（三角函数、解三角形）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在△ABC中，设命题p：，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．即不充分也不必要条件

2. 难度：中等

设函数f（x）=sin3x+|sin3x|，则f（x）为（ ）
A．周期函数，最小正周期为
B．周期函数，最小正周期为
C．周期函数，数小正周期为2π
D．非周期函数

3. 难度：中等

函数f（x）=-cosx在[0，+∞）内 （ ）
A．没有零点
B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点
D．有无穷多个零点

4. 难度：中等

若函数，则f（x）的最大值是（ ）
A．1
B．2
C．
D．

5. 难度：中等

E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF=（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若0＜a＜，-＜β＜0，cos（+α）=，cos（-）=，则cos（α+）=（ ）
A．
B．-
C．
D．-

7. 难度：中等

如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则sinC的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时，θ=（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

函数的值域为（ ）
A．[1，]
B．[1，]
C．[1，]
D．[1，2]

10. 难度：中等

如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数y=sin2x，，的图象如下．结果发现其中有一位同学作出的图象有错误，那么有错误的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知5sin4α=sin4°，则的值是    ．

12. 难度：中等

已知，则的值为    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为    ．

三、解答题

14. 难度：中等

已知，，且α，β∈（0，π），求2α-β的值．

四、填空题

15. 难度：中等

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中：①在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若该三角形有两解，则x取值范围是；②在△ABC中，若b=8，c=5，A=60°，则△ABC的外接圆半径等于；③在△ABC中，若c=5，，则△ABC的内切圆的半径为2；④在△ABC中，若AB=4，AC=7，BC=9，则BC边的中线；⑤设三角形ABC的BC边上的高AD=BC，a、b、c分别表示角A、B、C对应的三边，则的取值范围是．其中正确说法的序号是    （注：把你认为是正确的序号都填上）．

五、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC+cosC=1-sin
（1）求sinC的值
（2）若 a²+b²=4（a+b）-8，求边c的值．

17. 难度：中等

已知锐角△ABC中，，，
求：tanB的值．

18. 难度：中等

已知函数的定义域为，值域为[-5，1]，求常数a，b的值．

19. 难度：中等

是否存在常数m，使得等式如果存在，请求出常数m的值；如果不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

某港口的水深y（m）是时间t （0≤t≤24，单位：h）的函数，下表是该港口某一天从0：00时至24：00时记录的时间t与水深y的关系：

t（h）	0：00	3：00	6：00	9：00	12：00	15：00	18：00	21：00	24：00
y（m）	10.0	13.0	9.9	7.0	10.0	13.0	10.1	7.0	10.0

经长时间的观察，水深y与t的关系可以用y=Asin（ωx+ϕ）+h拟合．根据当天的数据，完成下面的问题：
（1）求出当天的拟合函数y=Asin（ωx+ϕ）+h的表达式；
（2）如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，船舶安全航行时船底与海底的距离不少于4.5m．那么该船在什么时间段能够进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间．（忽略离港所需时间）
（3）若某船吃水深度为8m，安全间隙（船底与海底的距离）为2.5．该船在3：00开始卸货，吃水深度以每小时0.5m的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，驶向较安全的水域？

21. 难度：中等

已知函数在定义域（-∞，4]上为减函数，且对于任意的x∈R成立，求m的取值范围．