2009-2010学年重庆市外国语学校高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

双曲线x²-y²=3的离心率e为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知过点A（-2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为（ ）
A．0
B．-8
C．2
D．10

3. 难度：中等

下列说法正确的是（ ）
A．直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∩b=Ø，直线b⊂α，则a∥α
D．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线

4. 难度：中等

直线l₁：x=-3与 的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°

5. 难度：中等

已知双曲线的渐近线为，且过点，则双曲线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

直线a与b垂直，b又垂直于平面α，则a与α的位置关系是（ ）
A．a⊥α
B．a∥α
C．a⊂α
D．a⊂α或a∥α

7. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，则AC₁与平面A₁B₁C₁D₁所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

直线x-y+m=0与圆x²+y²+2y-1=0有两个不同交点的一个必要而不充分条件是（ ）
A．-3＜m＜1
B．-2＜m＜0
C．-4＜m＜2
D．-2＜m＜1

9. 难度：中等

已知A（3，3），点B是圆x²+y²=1上的动点，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则点M的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

二面角C-BD-A为直二面角，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形

二、填空题

11. 难度：中等

抛物线y²=8x的焦点到准线的距离是    ．

12. 难度：中等

直线l经过点A（-2，1），斜率为，则点B（-1，1）到直线的距离为    ．

13. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别为AA₁，AB，BB₁，B₁C₁的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于    ．

14. 难度：中等

已知实数满足，则的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知双曲线C：-y²=1，若直线y=kx+m（k，m≠0）与双曲线C交于不同的两点M，N，且M，N在以点A（0，-1）为圆心的圆上，则实数m的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知直线l₁：kx-y-2k+3-0，l₂：（2k-1）x-2ky-2=0
（1）证明直线l₁过定点；
（2）若l₁⊥l₂，求直线l₂的一般方程．

17. 难度：中等

在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点，求证：
（1）直线EF∥面ACD；
（2）BD⊥面EFC．

18. 难度：中等

已知M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：||PM|-|PN||=2．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）记点P的轨迹为曲线C，过点N作方向向量为（-1，-1）的直线l，它与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．

四、填空题

19. 难度：中等

已知两点M（-1，0），N（1，0）且点P使成等差数列．
（1）若P点的轨迹曲线为C，求曲线C的方程；
（2）从定点A（2，4）出发向曲线C引两条切线，求两切线方程和切点连线的直线方程．

五、解答题

20. 难度：中等

如图，在△ABC中，B=90°，AC=，D、E两点分别在AB、AC上．使，DE=3．现将△ABC沿DE折成直二角角，求：
（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；
（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）．

21. 难度：中等

如图，设抛物线C₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂；以F₁、F₂为焦点，离心率e=的椭圆C₂与抛物线C₁在x轴上方的一个交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆的方程及其右准线的方程；
（2）是否存在实数m，使得△PF₁F₂的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）的条件下，直线l经过椭圆C₂的右焦点F₂，与抛物线C₁交于A₁、A₂，如果以线段A₁A₂为直径作圆，试判断点P与圆的位置关系，并说明理由．