2011年广东省广州市高二数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数f（x）=x³+sinx+1（x∈R），若f（a）=2，则f（-a）的值为（ ）
A．3
B．0
C．-1
D．-2

2. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式，设其前n项和为S_n，则使S_n＜-4成立的自然数n有（ ）
A．最大值15
B．最小值15
C．最大值16
D．最小值16

3. 难度：中等

如图所示的程序框图，若输入n=5，则输出的n值为（ ）

A．3
B．1
C．-1
D．-3

4. 难度：中等

设a=sin（sin2011°），b=sin（cos2011°），c=cos（sin2011°），则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．c＜b＜a
D．c＜a＜b

二、填空题

5. 难度：中等

若过定点M（-1，0）且斜率为k的直线与圆x²+4x+y²-5=0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是    ．

6. 难度：中等

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内任取一点P，则点P到点A的距离不大于1的概率为    ．

7. 难度：中等

在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足=2，则•（+）=    ．

8. 难度：中等

在△ABC中，若tanAtanB=1，则sin=    ．

9. 难度：中等

在R上定义运算△：x△y=x（1-y） 若不等式（x-a）△（x+a）＜1，对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是    ．

10. 难度：中等

设面积为S的平面四边形的第i条边的边长为a_i（i=1，2，3，4），P是该四边形内一点，点P到第i条边的距离记为，类比上述结论，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S_i（i=1，2，3，4），Q是该三棱锥内的一点，点Q到第i个面的距离记为d_i，若等于    ．

三、解答题

11. 难度：中等

已知向量=（sinx，cosx），=（6sinx+cosx，7sinx-2cosx），设函数f（x）=•-2．
（1）求函数f（x）的最大值，并求取得最大值时x的值；
（2）在A为锐角的△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（A）=4且△ABC的面积为3，，求a的值．

12. 难度：中等

已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2a，AB=a，F为CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求异面直线AC，BE所成角余弦值；
（Ⅲ）求面ACD和面BCE所成二面角的大小．

13. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F₂（3，0），离心率为e．
（Ⅰ）若，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF₂，BF₂的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．

14. 难度：中等

设无穷等差数列{a_n}的前n项和为S_n，求所有的无穷等差数列{a_n}，使得对于一切正整数k都有成立．

15. 难度：中等

定义在R上的函数（a，b∈R且a≠0）是奇函数，当x=1时，f（x）取得最大值．
（1）求a、b的值；
（2）设曲线y=f（x）在点（x，f（x））处的切线l与y轴的交点为（0，t），求实数t的取值范围．