2010-2011学年广东省六校联合体高二（下）第一次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知 m∈R，向量 =（ ）
A．1
B．
C．±1
D．

2. 难度：中等

已知集合S={3，a}，T={x|x²-3x＜0，x∈Z}，S∩T={1}，P=S∪T，那么集合P的子集个数是（ ）
A．32
B．16
C．8
D．4

3. 难度：中等

下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．“x²=1”是“x=-1”的充分不必要条件
B．“x=2”是“x²-5x+6=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x²+x+1＜0”
D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题

4. 难度：中等

已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如图，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．2π
D．4π

5. 难度：中等

有五组变量：
①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；
②平均日学习时间和平均学习成绩；     
③某人每日吸烟量和其身体健康情况；
④正方形的边长和面积的倒数；          
⑤汽车的重量和百公里耗油量；
其中两个变量成负相关的是（ ）
A．①③
B．③④
C．②⑤
D．④⑤

6. 难度：中等

已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x，且点P（2，2）在此双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．5
C．
D．3

7. 难度：中等

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧面ABB₁A₁内有一动点P到直线A₁B₁和直线BC的距离相等，则动点P所在曲线形状为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知Ω={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|x≤4，y≥0，x-2y≥0}，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

抛物线y=4x²的焦点到准线的距离为    ．

10. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₃=6，a₁₁=8，前n项和为S_n，则S₁₃的值为    ．

11. 难度：中等

设f（x）是定义在实数R上的以3为周期的奇函数，若，则实数a的取值范围是     ．

12. 难度：中等

请阅读如图的算法流程图若  b=2cos²28°-1  c=2sin16°cos16°请问输出的结果应该是     （填abc中的一个）．

13. 难度：中等

圆x²+y²-2y=0的圆心到直线y=x的距离是    ．

14. 难度：中等

将一条长为1米的绳子第一次剪去，第二次剪去剩下的第三次剪去剩下的，…第n次剪去剩下的，那么前三次共剪去绳子     米，前n次共剪去绳子     米（第二空用含n的式子表示）（第一空2分，第二空3分）

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，，．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）设，求△ABC的面积．

16. 难度：中等

设函数f（x）=log_ax（a为常数且a＞0，a≠1），已知数列f（x₁），f（x₂），…，f（x_n），…是公差为2的等差数列，且．
（Ⅰ）求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）当时，求证：．

17. 难度：中等

某高校在2009年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．

组号	分组	频数	频率
第1组	[160，165）	5	0.050
第2组	[165，170）	①	0.350
第3组	[170，175）	30	②
第4组	[175，180）	20	0.200
第5组	[180，185）	10	0.100
合计		100	1.00

（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？

18. 难度：中等

已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P，圆心为P．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当T变化时，求y的最大值．

19. 难度：中等

在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=，BC=CD=2，PD=4，A为PD的中点，如图1．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且，如图2．
（1）求证：SA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-AC-D的正切值；
（3）在线段BC上是否存在点F，使SF∥平面EAC？若存在，确定F的位置，若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知点，点B在直线上运动，过点B与l垂直的直线和AB的中垂线相交于点M．
（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设点P是轨迹E上的动点，点R，N在y轴上，圆C：（x-1）²+y²=1内切于△PRN，求△PRN的面积的最小值．