2008-2009学年上海市十四校高三（上）第二次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

不等式的解集为    ．

2. 难度：中等

若，则θ的终边在    象限．

3. 难度：中等

以原点为顶点，x轴为对称轴且焦点在2x-4y+3=0上的抛物线方程是    ．

4. 难度：中等

二项式展开式中所有的有理项系数之和为    ．

5. 难度：中等

设z=，那么z+z²+z³+z⁴+z⁵+z⁶=    ．

6. 难度：中等

设l为平面上过点（0，1）的直线，l的斜率等可能地取，0，，用X表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望EX=    ．

7. 难度：中等

若数列{a_n} 满足（p为正常数，n∈N^*），则称{a_n} 为“等方比数列”．则“数列{a_n} 是等方比数列”是“数列{a_n} 是等比数列”的    条件．

8. 难度：中等

一个圆锥的侧面展开图是圆心角为π，半径为18 cm的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为     ．

9. 难度：中等

已知f（x）是定义在R数，且f（1）=1，对任意的x∈R式成立：f（x+5）≥f（x）+5；f（x+1）≤f（x）+1，若g（x）=f（x）+1-x，则g（6）=    ．

10. 难度：中等

如图，在杨辉三角中，斜线上方的数组成数列：1，3，6，10，…，记这个数列的前n项和为S_n，则=    ．

11. 难度：中等

符号[x]表示不超过x的最大整数，如[2.3]=2，[-1.3]=-2，定义函数{x}=x+[x]，那么下列 命题中所有正确命题的序号为    ．
①函数{x}定义域是R；
②函数{x}的值域为R；
③方程{x}=唯一解；
④函数{x}是周期函数；
⑤函数{x}是增函数．

12. 难度：中等

矩阵的一种运算，该运算的几何意义为平面上的点（x，y）在矩阵的作用下变换成点（ax+by，cx+dy），若曲线x²+4xy+2y²=1在矩阵的作用下变换成曲线x²-2y²=1，则a+b的值为    ．

二、选择题

13. 难度：中等

无穷等比数列1，，，，…各项的和等于（ ）
A．2-
B．2+
C．
D．

14. 难度：中等

已知在△ABC中，向量与满足（+）•=0，且•=，则△ABC为（ ）
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．等边三角形

15. 难度：中等

对任意正整数n，定义n的双阶乘n!如下：当n为偶数时，n!=n（n-2）（n-4）…6×4×2；当n为奇数时，n（n-2）（n-4）…5×3×1；
现有四个命题：①（2009!!）（2008!!）=2009!，②2008!!=2×1004!，③2008!!个位数为0，④2009!!个位数为5．其中正确的序号为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

16. 难度：中等

三个半径为R的球互相外切，且每个球都同时与另两个半径为r的球外切．如果这两个半径为r的球也互相外切，则R与r的关系是（ ）
A．R=r
B．R=2r
C．R=3r
D．R=6r

三、解答题

17. 难度：中等

如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，E是PC的中点．
（1）（文）求证AE与PB是异面直线．
（理）求异面直线AE和PB所成角的余弦值；
（2）求三棱锥A-EBC的体积．

18. 难度：中等

在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c已知，且，求△ABC的面积．

19. 难度：中等

设m、n为正整数，且m≠2，二次函数y=x²+（3-mt）x-3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为的d₁，二次函数y=-x²+（2t-n）x+2nt的图象与x轴的两个交点间的距离为d₂，如果d₁≥d₂对一切实数t恒成立，求m、n的值．

20. 难度：中等

冬天，洁白的雪花飘落时十分漂亮．为研究雪花的形状，1904年，瑞典数学家科克（Koch Heige Von）把雪花理想化，得到了雪花曲线，也叫科克曲线．它的形成过程如下：
（i）将正三角形（图①）的每边三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图②；
（ii）将图②的每边三等分，重复上述作图方法，得到图③；
（iii）再按上述方法无限多次继续作下去，所得到的曲线就是雪花曲线．
将图①、图②、图③…中的图形依次记作M₁、M₂、…、M_n…设M₁的边长为1．
求：（1）M_n的边数a_n；
    （2）M_n的边长L_n；
    （3）M_n的面积S_n的极限．

21. 难度：中等

我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题．
（1）设F₁、F₂是椭圆M：的两个焦点，点F₁、F₂到直线L：x-y+=0的距离分别为d₁、d₂，试求d₁•d₂的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系．
（2）设F₁、F₂是椭圆M：（a＞b＞0）的两个焦点，点F₁、F₂到直线L：mx+ny+p=0（m、n不同时为0）的距离分别为d₁、d₂，且直线L与椭圆M相切，试求d₁•d₂的值．
（3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明．
（4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）．