2007年广东省广州市高二数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-3）
B．（1，+∞）
C．（-3，1）
D．（-∞，-3）∪（1，+∞）

2. 难度：中等

椭圆=1的焦点为F₁和F₂，点P在椭圆上，如果线段PF₁的中点在y轴上，那么|P F₁|是|P F₂|的（ ）
A．7倍
B．5倍
C．4倍
D．3倍

3. 难度：中等

已知集合，则集合M中元素的个数为（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．无数个

4. 难度：中等

设M是△ABC内一点，且△ABC的面积为1，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f（M）=（，x，y），则+的最小值是（ ）
A．8
B．9
C．16
D．18

二、填空题

5. 难度：中等

已知复数z满足：z²+z+1=0，则1+z+z²+z³+…+z²⁰⁰⁷=    ．

6. 难度：中等

在区间[-2，2]上任取两实数a，b，则二次方程x²-ax+b²=0有实数解的概率为    ．

7. 难度：中等

已知函数f（x）满足：f（m+n）=f（m）f（n），f（1）=2，则+…=    ．

8. 难度：中等

奇函数f（x）在R上为减函数，若对任意的实数x，不等式f（kx）+f（-x²+x-2）＞0恒成立，则实数k的取值范围为    ．

9. 难度：中等

四面体ABCD中，AB=CD=6，其余的棱长均为5，则与该四面体各个表面都相切的内切球的半径长等于    ．

10. 难度：中等

已知x，y满足，则函数z=|x+y-10|的最大值与最小值之和为    ．

三、解答题

11. 难度：中等

已知函数f（x）=，其中，=（cosωx-sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若f（x）相邻两对称轴间的距离不小于．
（Ⅰ）求ω的取值范围；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=，b+c=3，当ω最大时，f（A）=1，求△ABC的面积．

12. 难度：中等

各项都为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，已知．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=2b_n，数列{c_n}满足，数列{c_n}的前n项和为T_n，当n为偶数时，求T_n；
（Ⅲ）同学甲利用第（Ⅱ）问中的T_n设计了一个程序如图，但同学乙认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束）．你是否同意同学乙的观点？请说明理由．

13. 难度：中等

多面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的直观图，主视图，俯视图，左视图如图所示．

（1）求A₁A与平面ABCD所成角的正切值；
（2）求面AA₁D₁与面ABCD所成二面角的余弦值；
（3）求此多面体的体积．

14. 难度：中等

如图，已知抛物线C：x²=2py（p＞0）与圆O：x²+y²=8相交于A、B两点，且（O为坐标原点），直线l与圆O相切，切点在劣弧AB（含A、B两点）上，且与抛物线C相交于M、N两点，d是M、N两点到抛物线C的焦点的距离之和．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求d的最大值，并求d取得最大值时直线l的方程．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=x，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．
（I）求λ的最大值；
（II）若g（x）＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）讨论关于x的方程的根的个数．