2007-2008学年浙江省宁波二中、温州市永嘉十五中等三校联考高二（下）期中数学试卷（选修2-1）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

抛物线x²=-8y的准线方程是（ ）
A．y=2
B．
C．
D．y=-2

2. 难度：中等

已知A（1，2，-1）关于面xoy的对称点为B，而B关于x轴对称的点为C，则=（ ）
A．（0，4，2）
B．（0，-4，-2）
C．（0，4，0）
D．（2，0，-2）

3. 难度：中等

若k∈R，则“k＞3”是“方程-=1表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

在以下四个命题中，不正确的个数为（ ）
（1）若
（2）已知不共线的三点A、B、C和平面ABC外任意一点O，点P在平面ABC内的充要条件是存在x，y，z∈R，且x+y+z=1
（3）空间三个向量，若
（4）对于任意空间任意两个向量，的充要条件是存在唯一的实数λ，使．
A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设 =（-2，2，5）、=（6，-4，4）分别是平面α，β的法向量，则平面α，β的位置关系是（ ）
A．平行
B．垂直
C．相交但不垂直
D．不能确定

7. 难度：中等

已知，方程x²sinα+y²cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知直线y=kx+1与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A．m≥1
B．m≥1，或0＜m＜1
C．0＜m＜5，且m≠1
D．m≥1，且m≠5

9. 难度：中等

在△ABC中，已知A（-4，0），B（4，0），且sinA-sinB=，则C的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知抛物线y=-x²+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（ ）
A．3
B．4
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x-y=0，则它的离心率为    ．

12. 难度：中等

已知，则的最小值是    ．

13. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p为    ．

14. 难度：中等

命题“若x≠1或x≠2，则x²-3x+2≠0”是    命题．（填“真”或“假”）

15. 难度：中等

过椭圆+=1内一点M（2，1）引一条弦，使得弦被M点平分，则此弦所在的直线方程为    ．

16. 难度：中等

在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AD=2，AA₁=3，∠BAD=90°，∠BAA₁=∠DAA₁=60°，则AC₁的长为    ．

17. 难度：中等

P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）²+y²=4和（x-5）²+y²=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y²=2x相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

19. 难度：中等

命题p：关于x的不等式x²+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立，q：函数f（x）=（3-2a）^x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

已知双曲线的中心在原点，左右焦点分别为F₁，F₂，离心率为，且过点，
（1）求此双曲线的标准方程；
（2）若直线系kx-y-3k+m=0（其中k为参数）所过的定点M恰在双曲线上，求证：F₁M⊥F₂M．

21. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD=1，AB=2a（a＞0），E，F分别CD、PB的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAB；，
（Ⅱ）当时，求AC与平面AEF所成角的正弦值．

22. 难度：中等

如图，线段MN的两个端点M、N分别在x轴、y 轴上滑动，|MN|=5，点P是线段MN上一点，且，点P随线段MN的运动而变化．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．