2011-2012学年湖北省黄冈中学高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知圆C：x²+y²+mx-4=0上存在两点关于直线x-y+3=0对称，则实数m的值（ ）
A．8
B．-4
C．6
D．无法确定

3. 难度：中等

已知m．l是直线，α．β是平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若l平行于α，则l平行于α内的所有直线
B．若m⊂α，l⊂β，且m∥l，则α∥β
C．若m⊂α，l⊂β，且m⊥l，则α⊥β
D．若m⊂β，m⊥α，则α⊥β

4. 难度：中等

直线ax+2y+6=0与直线x+（a-1）y+a²-1=0平行的充要条件是（ ）
A．a=2
B．a=2或-1
C．a=-1
D．a=-2

5. 难度：中等

P在直线2x+y+10=0上，PA、PB与圆x²+y²=4相切于A、B两点，则四边形PAOB面积的最小值为（ ）
A．24
B．16
C．8
D．4

6. 难度：中等

已知动点（x，y）所在的区域是如图所示的阴影部分（包括边界），则目标函数z=x+2y的最小值和最大值分别为（ ）
A．2，12
B．2，4
C．1，12
D．1，4

7. 难度：中等

在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

实数x，y满足x²+y²-2x-2y+1=0，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B与平面BB₁D₁D所成的角的大小是（ ）

A．90°
B．30°
C．45°
D．60°

10. 难度：中等

若A={（x，y）|x²+y²≤16}，B={（x，y）|x²+（y-2）²≤a-1}且A∩B=B，则a的取值范围是（ ）
A．a≤1
B．a≥5
C．1≤a≤5
D．a≤5

二、填空题

11. 难度：中等

过点P（-1，4）作圆C：（x-1）²+y²=4的切线，则切线方程为    ．

12. 难度：中等

已知直线ax+by+c=0被圆M：x²+y²=4所截得的弦AB的长为，那么的值等于    ．

13. 难度：中等

矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的体积为    ．

14. 难度：中等

在△ABC中，如果点A在BC边上的射影是D，△ABC的三边BC、AC、AB的长依次是a、b、c，则a=b•cosC+c•cosb，类比这一结论，推广到空间：在四面体P-ABC中，△ABC、△PAB、△PBC、△PCA的面积依次为S、S₁、S₂、S₃，二面角P-AB-C、P-BC-A、P-CA-B的度数依次为α、β、γ，则S=    ．

15. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={（x，y）|x+y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B={（x+y，x-y）|（x，y）∈A}的面积为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，已知点A（5，-2）、B（7，3），且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．
（1）求点C的坐标；
（2）求直线MN的方程．

17. 难度：中等

已知圆心为C的圆经过点A（0，1）和B（-2，3），且圆心在直线l：x+2y-3=0上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若圆C的切线在x轴，y轴上的截距相等，求切线的方程．

18. 难度：中等

四棱锥S-ABCD的三视图和直观图如图所示，其中主视图和左视图为两个全等的直角三角形，俯视图为正方形，M，N，P分别为AB，SA，AD的中点．
（1）求四棱锥S-ABCD的体积和表面积；
（2）求证：直线MC⊥平面BPN．

19. 难度：中等

已知直线方程为（2-m）x+（2m+1）y+3m+4=0．
（1）证明：直线恒过定点；
（2）m为何值时，点Q（3，4）到直线的距离最大，最大值为多少？
（3）若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A．B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．

20. 难度：中等

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA₁⊥AC₁．
（1）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（2）求二面角A₁-BC-A的大小；
（3）求CC₁到平面A₁AB的距离．

21. 难度：中等

已知圆C：x²+（y-3）²=4，一动直线l过A（-1，0）与圆C相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N．
（Ⅰ）求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；
（Ⅱ）当时，求直线l的方程；
（Ⅲ）探索是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．