2011-2012学年山东省枣庄市高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合等于（ ）
A．[0，+∞）
B．（0，+∞）
C．R
D．∅

2. 难度：中等

已知a，b∈R，命题“若a+b=1，则”的否命题是（ ）
A．若
B．若
C．若
D．若

3. 难度：中等

已知平面向量=（1，2），=（-2，m），且∥，则m的值为（ ）
A．1
B．-1
C．4
D．-4

4. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项之和为S_n，已知a₂=3，a₅=9，则S₅等于（ ）
A．15
B．20
C．25
D．30

5. 难度：中等

给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称．则下列四个函数中，同时具有性质①②的是（ ）
A．y=sin（+）
B．y=sin（2x+）
C．y=sin|x|
D．y=sin（2x-）

6. 难度：中等

已知等于（ ）
A．0
B．-1
C．1
D．2

7. 难度：中等

已知的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

有如下命题：
①若0＜a＜1，对∀x＜0，则a^x＞1；
②若函数y=log_a（x-1）+1的图象过定点P（m，n），则log_mn=0；
③函数y=x^-1的单调递减区间为（-∞，0）∪（0，+∞）；
④∃x∈R，tanx=2011，
其中真命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

在函数y=|x|（x∈[-1，1]）的图象上有一点P（t，|t|），此函数与x轴、直线x=-1及x=t围成图形（如图阴影部分）的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

对于函数f（x）=acosx+bx²+c，其中a，b，c∈R，适当地选取a，b，c的一组值计算f（1）和f（-1），所得出的正确结果只可能是（ ）
A．4和6
B．3和-3
C．2和4
D．1和1

11. 难度：中等

有限集合S中元素的个数记做card（S），设A，B都为有限集合，给出下列命题：
①A∩B=∅的充要条件是card（A∪B）=card（A）+card（B）；
②A⊆B的必要条件是card（A）≤card（B）；
③A⊈B的充要条件是card（A）≤card（B）；
④A=B的充要条件是card（A）=card（B）；
其中真命题的序号是（ ）
A．③④
B．①②
C．①④
D．②③

12. 难度：中等

对实数a和b，定义运算“⊗”：设函数f（x）=（x²-1）⊗（x-x²），x∈R．若函数y=f（x）-c恰有两个不同的零点，则实数c的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

设，则实数a的取值范围     ．

14. 难度：中等

设函数f（θ）=tan2θ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，其终边与单位圆交于点=    ．

15. 难度：中等

20世纪30年代，里克特（C．F．Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪测量地震能量的等级，地震能量越大，地震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：M=lgA-lgA，其中A是被测地震的最大振幅，A是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．假设在一次地震中，一个距离震中100km的测震仪记录的最大振幅是20，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为    （精确到0.1，已知lg2≈0.3010）．

16. 难度：中等

有如下4个命题：
①若cosθ＜0，则θ是第二、三象限角；
②在△ABC中，D是边BC上的点，且；
③命题p：0是最小的自然数，命题q：∀x∈R，lgx≠1，则”p∧（¬q）”为真命题；
④已知△ABC外接圆的圆心为O，半径为1，若，则向量在方向上的投影为．
其中真命题的序号为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为．
（1）求|a+2b|；
（2）若向量a+2b与ta+b垂直，求实数t的值．

18. 难度：中等

叙述并证明正弦定理．

19. 难度：中等

某商品在近100天内，商品的单价f（t）（元）与时间t（天）的函数关系式如下：已知第20天时，该商品的单价为27元，40天时，该商品的单价为32元．
（1）求出实数a，b的值：
（2）已知该种商品的销售量与时间t（天）的函数关系式为．求这种商品在这100天内哪一天的销售额y最高？最高为多少（精确到1元）？

20. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=4a_n-3，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n+1=a_n+b_n，n∈N^*，b₁=2，求数列{b_n}的前n项和T_n．

21. 难度：中等

已知向量．
（1）将函数f（x）图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，继而将所得图象上的各点向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的值．

22. 难度：中等

已知a∈R，f（x）=（ax²-2x）e^-x，其中e为自然对数的底数．
（1）当a≥0时，求函数f（x）的极值点；
（2）若f（x）在[-1，1]上是单调函数，求a的取值范围；
（3）设n∈N^*，试证明，这里n!=1×2×…×n．