2010-2011学年浙江省温州市八校联考高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

定义集合A*B={x|x∈A，且x∉B}，若A={1，3，5，7}，B={2，3，5}，则A*B的子集个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

2. 难度：中等

设b、c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是（ ）
A．若b⊂α，c∥α，则b∥c
B．若b⊂α，b∥c，则c∥α
C．若c∥α，α⊥β，则c⊥β
D．若c∥α，c⊥β，则α⊥β

3. 难度：中等

若下框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是（ ）
A．k=9
B．k≤8
C．k＜8
D．k＞8

4. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且，f（x）=log₂（-3x+1），则f（2011）=（ ）
A．-2
B．2
C．4
D．log₂7

5. 难度：中等

在△ABC中，sinA=cosB是A+B=90°的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

F₁，F₂分别是双曲线-=1的左、右焦点，A是其右顶点，过F₂作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是△PF₁F₂的重心，若•=0，则双曲线的离心率是（ ）
A．2
B．
C．3
D．

7. 难度：中等

设O为△ABC内一点，若任意k∈R，有，则△ABC的形状一定是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定

8. 难度：中等

函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（ ）

A．
B．
C．x=1
D．x=2

9. 难度：中等

称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”，过曲线上任意两个整点作直线，则倾斜角不小于30°的直线条数为（ ）
A．12
B．13
C．14
D．15

10. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=1，，记数列{a_n²}前n项的和为S_n，若对任意的n∈N^* 恒成立，则正整数t的最小值为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7

二、填空题

11. 难度：中等

复数=    ．

12. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，若它的体积是，则a=    ．

13. 难度：中等

若关于x，y的不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

如图，在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值是    ．

15. 难度：中等

点P在椭圆上运动，Q、R分别在两圆（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1上运动，则|PQ|+|PR|的取值范围为    ．

16. 难度：中等

等比数列{a_n}中，a₁=1，a₂₀₁₀=4，函数f（x）=x（x-a₁）（x-a₂）…（x-a₂₀₁₀），则函数f（x） 在点（0，0）处的切线方程为    ．

17. 难度：中等

将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”．那么，所有的三位数中，奇和数有    个．

三、解答题

18. 难度：中等

△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，若+．
（1）求角B大小；
（2）设y=sinC-sinA，求y的取值范围．

19. 难度：中等

小明参加一次智力问答比赛，比赛共设三关．第一、二关各有两个问题，两个问题全答对，可进入下一关．第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为100、300、500元的奖励．小明对三关中每个问题回答正确的概率依次为、、，且每个问题回答正确与否相互独立．
（1）求小明过第一关但未过第二关的概率；
（2）用ξ表示小明所获得奖品的价值，求ξ的分布列和期望．

20. 难度：中等

如图，在直角梯形ABCD中AD∥BC，BC⊥CD，∠ABC=45°，直角梯形ABCD与矩形ADQP所在平面垂直，将矩形ADQP沿PD对折，使得翻折后点Q落在BC上，设DC=1．

（1）求证：AQ⊥DQ；
（2）求线段AD的最小值，并指出此时点Q的位置；
（3）当AD长度最小时，求直线BD与平面PDQ所成的角的正弦值．

21. 难度：中等

已知抛物线C的顶点在原点，焦点坐标为F（2，0），点P的坐标为（m，0）（m≠0），设过点P的直线l交抛物线C于A，B两点，点P关于原点的对称点为点Q．
（1）当直线l的斜率为1时，求△QAB的面积关于m的函数表达式．
（2）试问在x轴上是否存在一定点T，使得TA，TB与x轴所成的锐角相等？若存在，求出定点T 的坐标，若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

设函数f（x）=e^x+sinx，g（x）=ax，F（x）=f（x）-g（x）．
（1）若x=0是F（x）的极值点，求a的值；
（2）当a=时，若存在x₁、x₂∈[0，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），求x₂-x₁的最小值；
（3）若x∈[0，+∞）时，F（x）≥F（-x）恒成立，求a的取值范围．