2011-2012学年江苏省南通市启东市汇龙中学高二（上）第二次学情调查数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

“|x-1|＜2成立”是“x（x-3）＜0成立”的    条件．

2. 难度：中等

命题p：“∃x∈R，使得x²+x+1＜0”，则￢p：    ．

3. 难度：中等

已知两定点F₁（-1，0），F₂（1，0）且|F₁F₂|是|PF₁|与|PF₂|的等差中项，则动点P的轨迹方程是    ．

4. 难度：中等

抛物线y²=2x上的两点A、B到焦点F的距离之和是5，则线段AB的中点M的横坐标是    ．

5. 难度：中等

函数y=sinx（cosx+1），则函数的导数是y′=    ．

6. 难度：中等

若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是     ．

7. 难度：中等

若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面四个命题：①α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；②α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；③l∥α，l⊥β，则α⊥β．④若l∥α，则l平行于α内的所有直线．其中正确命题的序号是     ．（把你认为正确命题的序号都填上）

8. 难度：中等

若曲线y=x²+ax+b在点（0，b）处的切线方程是x-y+1=0，则a^b=    ．

9. 难度：中等

函数y=e^x-x的最小值为    ．

10. 难度：中等

函数y=x-lnx的单调增区间是    ．

11. 难度：中等

P是抛物线y²=x上的动点，Q是圆（x-3）²+y²=1的动点，则|PQ|的最小值为    ．

12. 难度：中等

一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为    ．

13. 难度：中等

已知可导函数f（x）（x∈R）的导函数f'（x）满足f'（x）＞f（x），则当a＞0时，f（a）和e^af（0）（e是自然对数的底数）大小关系为    ．

14. 难度：中等

设双曲线的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知a＜0，设p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，q：实数x满足x²+2x-8＞0，且￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．

16. 难度：中等

已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．

17. 难度：中等

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．
（1）求证：D₁C⊥AC₁；
（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D₁E∥平面A₁BD，并说明理由．

18. 难度：中等

已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x²+y²=5上，求m的值．

19. 难度：中等

某商场预计2012年从1月起前x个月顾客对某种世博商品的需求总量P（x）件与月份x的近似关系是：p（x）=x（x+1）（41-2x）（x≤12且x∈N⁺）
（1）写出第x月的需求量f（x）的表达式；
（2）若第x月的销售量g（x）=（单位：件），每件利润q（x）元与月份x的近似关系为：q（x）=，求该商场销售该商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？（e⁶≈403）

20. 难度：中等

已知函数f（x）=（x-1）²，g（x）=alnx．
（1）若两曲线y=f（x）与y=g（x）在x=2处的切线互相垂直，求a的值，并判断函数F（x）=f（x）-g（x）的单调性并写出其单调区间；
（2）若函数的图象与直线y=x至少有一个交点，求实数a的取值范围．