2011-2012学年辽宁省大连一中高三（上）数学假期作业2(文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数f（x）=cos（x-）+2|sin（π+x）|（x∈[0，2π]）的图象与直线y=k有且仅有两个不同交点，则k的取值范围是（ ）
A．（-1，3）
B．（-1，0）∪（0，3）
C．（0，1）
D．（1，3）

2. 难度：中等

若函数f（x）的零点与g（x）=4^x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f（x）可以是（ ）
A．f（x）=4x-1
B．f（x）=（x-1）²
C．f（x）=e^x-1
D．f（x）=ln（x-）

3. 难度：中等

函数f（x）和g（x）的定义域为[a，b]，若对任意的x∈[a，b]，总有，则称f（x）可被g（x）“置换”．下列函数中，能置换函数，x∈[4，16]的是（ ）
A．
B．g（x）=x²+6，x∈[4，16]
C．g（x）=x+6，x∈[4，16]
D．g（x）=2x+6，x∈[4，16]

4. 难度：中等

函数f（θ ）=的最大值和最小值分别是（ ）
A．最大值和最小值0
B．最大值不存在和最小值
C．最大值-和最小值0
D．最大值不存在和最小值-

5. 难度：中等

已知函数f（x）=log₂（x²-ax+3a）在区间[2，+∞）上递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，4）
B．（-4，4]
C．（-∞，-4）∪[2，+∞）
D．[-4，2）

6. 难度：中等

若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（ ）
A．[0，1]
B．[0，1）
C．[0，1）∪（1，4]
D．（0，1）

7. 难度：中等

已知f（x）=a^-x（a＞0且a≠1），f^-1（x）的反函数，若f^-1（2）＜0，则f^-1（x+1）的图象大致（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设函数f（x）=x-[x]，其中[x]为取整记号，如[-1.2]=-2，[1.2]=1，[1]1．又函数g（x）=-，f（x）在区间（0，2）上零点的个数记为m，f（x）与g（x）图象焦点的个数记为n，则∫_mⁿg（x）dx的值是（ ）
A．-
B．-
C．-
D．-

9. 难度：中等

设，其中n是正整数，α是小数，且0＜α＜1，则n的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设M={（x，y）|y=x²+2bx+1}，P={（x，y）|y=2a（x+b）}，S={（a，b）|M∩P=∅}，则S的面积是（ ）
A．1
B．π
C．4
D．4π

11. 难度：中等

t=sinα+cosα且sin³α+cos³α＜0，则t的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

如图，在正三棱锥P-ABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是．

A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

对于函数f（x）=|x|³-x²+（3-a）|x|+b．
（1）若f（2）=7，则f（-2）=    ．
（2）若f（x）有六个不同的单调区间，则a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f：V→V，a∈V，记a的象为f（a）．若映射f：V→V满足：对所有a、b∈V及任意实数λ，μ都有f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），则f称为平面M上的线性变换．现有下列命题：
①设f是平面M上的线性变换，a、b∈V，则f（a+b）=f（a）+f（b）；
②若e是平面M上的单位向量，对a∈V，设f（a）=a+e，则f是平面M上的线性变换；
③对a∈V，设f（a）=-a，则f是平面M上的线性变换；
④设f是平面M上的线性变换，a∈V，则对任意实数k均有f（ka）=kf（a）．
其中的真命题是    （写出所有真命题的编号）

15. 难度：中等

已知函数．（1）那么方程f（x）=0在区间[-2009，2009]上的根的个数是    ；（2）对于下列命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）既有最大值又有最小值；③函数f（x）的定义域是R，且其图象有对称轴；④对于任意x∈（-1，0），函数f（x）的导函数f'（x）＜0．其中真命题的序号是    ．（填写出所有真命题的序号）

16. 难度：中等

在三棱锥的四个面中，最多有    个面为直角三角形．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=x，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．
（I）求λ的最大值；
（II）若g（x）＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）讨论关于x的方程的根的个数．

18. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx满足条件：①f（0）=f（1）；  ②f（x）的最小值为-．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设数列{a_n}的前n项积为T_n，且T_n=（）^f（n），求数列{a_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若5f（a_n）是b_n与a_n的等差中项，试问数列{b_n}中第几项的值最小？求出这个最小值．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，有S_n，，n（a≠0，a≠1）成等差数列，令b_n=（a_n+1）lg（a_n+1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n（用a，n表示）
（2）当时，数列{b_n}是否存在最小项，若有，请求出第几项最小；若无，请说明理由；
（3）若{b_n}是一个单调递增数列，请求出a的取值范围．

20. 难度：中等

函数．
（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）的定义域为[-2，1]，求实数a的值．

21. 难度：中等

已知曲线C₁：（t为参数），C₂：（θ为参数）．
（1）化C₁，C₂的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C₁上的点P对应的参数为t=，Q为C₂上的动点，求PQ中点M到直线C₁：（t为参数）距离的最小值．

22. 难度：中等

已知a＞b＞c＞d，求证：．