2011-2012学年江西省赣州市南康中学高二（上）数学专项训练：空间向量与立体几何（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列各组向量中不平行的是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知点A（-3，1，-4），则点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A．（-3，-1，4）
B．（-3，-1，-4）
C．（3，1，4）
D．（3，-1，-4）

3. 难度：中等

若向量=（1，λ，2），=（2，-1，2），且与的夹角余弦值为，则λ等于（ ）
A．2
B．-2
C．-2或
D．2或-

4. 难度：中等

若A（1，-2，1），B（4，2，3），C（6，-1，4），则△ABC的形状是（ ）
A．不等边锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形

5. 难度：中等

若A（x，5-x，2x-1），B（1，x+2，2-x），当||取最小值时，x的值等于（ ）
A．19
B．
C．
D．

6. 难度：中等

空间四边形OABC中，OB=OC，，则cos＜＞的值是（ ）
A．
B．
C．-
D．0

7. 难度：中等

已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题：
①若m∥n，m⊥α，则n⊥α
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；
④若m∥α，α∩β=n，则m∥n，
其中不正确的命题的个数是（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

8. 难度：中等

设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：
①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面．其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是（ ）
A．③④
B．①③
C．②③
D．①②

9. 难度：中等

已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中假命题是（ ）
A．若α∥β，l⊂α，则l∥β
B．若α∥β，l⊥α，则l⊥β
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m
D．若α⊥β，α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β

10. 难度：中等

设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n 
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ  
③若m∥α，n∥α，则m∥n  
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④

二、填空题

11. 难度：中等

若向量，则=    ．

12. 难度：中等

若向量=（2，-1，1），=（4，9，1），则这两个向量的位置关系是    ．

13. 难度：中等

已知向量，若，则x=    ；若则x=    ．

14. 难度：中等

已知向量=（m，5，-1），=（3，1，r），若则实数m=    ，r=    ．

15. 难度：中等

若，且，则与的夹角为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

若，，是平面α内的三点，设平面α的法向量，则x：y：z=______．

四、填空题

17. 难度：中等

已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且，用，，表示，则=    ．

18. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，则直线DA₁与AC间的距离为    ．

五、解答题

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2，M，N分别为PC、PB的中点．
（1）求证：PB⊥DM；
（2）求BD与平面ADMN所成角的大小；
（3）求二面角B-PC-D的大小．

20. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且，AB=1，M是PB的中点．
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB的夹角的余弦值；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC夹角的余弦值．

21. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点．
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．

22. 难度：中等

如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC₁F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC₁=3，BE=1．
（Ⅰ）求BF的长；
（Ⅱ）求点C到平面AEC₁F的距离．

23. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为．

24. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC．已知，
求
（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；
（Ⅱ）二面角E-PC-D的大小．