2011-2012学年福建省厦门六中高三（上）10月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设P={x|x＜4}，Q={x|x²＜4}，则（ ）
A．P⊆Q
B．Q⊆P
C．P⊆C_RQ
D．Q⊆C_RP

2. 难度：中等

设a=log_0.22，b=0.2²，c=2^0.2，则（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．c＜a＜b
D．b＜a＜c

3. 难度：中等

函数的最小正周期是（ ）
A．
B．π
C．2π
D．4π

4. 难度：中等

函数是（ ）
A．递增的奇函数
B．递增的偶函数
C．递减的奇函数
D．递减的偶函数

5. 难度：中等

已知，则cos²θ-sin2θ的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数f（x）=的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，则BC₁与平面BB₁D₁D所成角的余弦值为 
（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

函数f（x）=-cosx在[0，+∞）内 （ ）
A．没有零点
B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点
D．有无穷多个零点

9. 难度：中等

定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x）且在[0，2]上为增函数，若方程f（x）=m（m＞0）在区间[-8，8]上有四个不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁+x₂+x₃+x₄的值为（ ）
A．8
B．-8
C．0
D．-4

10. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（2x+ϕ），其中ϕ为实数，若对x∈R恒成立，且，则f（x）的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知α∈（，π），，则=    ．

12. 难度：中等

积分的值是    ．

13. 难度：中等

函数的减区间是    ．

14. 难度：中等

函数的最大值是    ．

15. 难度：中等

函数f（x）的定义域为A，若x₁，x₂∈A，且f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x）为单函数．例如f（x）=2x+1（x∈R）是单函数，下列命题：
①函数f（x）=x²（x∈R）是单函数；
②函数f（x）=2^x（x∈R）是单函数，
③若f（x）为单函数，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数
其中的真命题是    （写出所有真命题的编号）

三、解答题

16. 难度：中等

已知，若¬q是¬p的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

已知函数．
（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；
（2）确定a的值，使f（x）为奇函数； 
（3）在（2）条件下，解不等式：．

18. 难度：中等

已知，且函数，
（1）求f（x）的增区间；  
（2）求f（x）在区间上的最大、最小值及相应的x值；
（3）求函数f（x）的图象关于直线x=π对称图象的对称中心和对称轴方程．

19. 难度：中等

某航模兴趣小组的同学，为了测出在湖面上航模航行速度，采用如下办法，在岸边设置两个观测点A、B，且AB=80米，当航模在C处时，测得∠ABC=105°及∠BAC=30°，经过20秒钟后，航模直线航行到D处，此时测得∠BAD=90°和∠ABD=45°，试根据以上条件求出航模速度（结果保留根号）

20. 难度：中等

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
（Ⅰ）证明：BN⊥平面C₁B₁N；
（Ⅱ）设直线C₁N与平面CNB₁所成的角为θ，求cosθ的值；
（Ⅲ）M为AB中点，在CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB₁，若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=（2-a）lnx++2ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；
（Ⅲ）若对任意a∈（-3，-2）及x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求实数m的取值范围．