2011-2012学年广西柳州市铁路一中高三（上）第三次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设f：x→x²是集合A到集合B的映射；如果B={1，3}，那么A∩B=（ ）
A．∅
B．{1}
C．∅或{3}
D．∅或{1}

2. 难度：中等

若定义：，a⊗b=|a+b|，则“-2≤x≤2”是“有意义”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知函数f（x）=2^x+3，函数g（x）的图象与f（x）的图象关于直线y=x对称，若ab=16（a＞0，b＞0），则g（a）+g（b）的值为（ ）
A．-2
B．0
C．4
D．10

4. 难度：中等

对任意实数x，有，则a₂=（ ）
A．3
B．6
C．9
D．21

5. 难度：中等

（理）已知函数y=sin（x-）sin（x+），则下列判断正确的是（ ）
A．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是（，0）
B．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是（，0）
C．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是（，0）
D．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是（，0）

6. 难度：中等

已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，则球O的表面积等于（ ）
A．4π
B．3π
C．2π
D．π

7. 难度：中等

已知向量，，若且m，n∈R^*，则m+n的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n，已知，且对任意正整数m，n都有a_m+n=a_m•a_n，若S_n＜a恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设P为曲线C：y=x²+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（ ）
A．
B．[-1，0]
C．[0，1]
D．

10. 难度：中等

已知△ABC中三个角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若a=2，b+c=4，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

在底面为正方形的四棱锥V-ABCD中，侧棱VA垂直于底面ABCD，且VA=AB，点M为VA的中点，则直线VC与平面MBC所成角的正弦值是（ ）
A．
B．．
C．．
D．．

12. 难度：中等

已知F₁，F₂是椭圆的左、右焦点，P（x，y）是椭圆上任意一点，若点M是∠F₁PF₂的角平分线上的一点，且满足，则的取值范围是（ ）
A．[0，3）
B．[0，4）
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知实数x，y满足，则 z=2x+y的最小值为    ．

14. 难度：中等

甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是    ．

15. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差d＜0，若a₃a₇=21，a₁+a₉=10，则该数列的前10项和S₁₀=    ．

16. 难度：中等

已知函数y=f（x）满足：①对任意实数x，有f（2+x）=f（2-x）；②对任意实数x₁，x₂∈[2，+∞），有，则a=f（0），，则a，b，c的关系是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知△ABC中，角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设函数为偶函数，且．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积为，其外接圆的半径为，求△ABC的周长．

18. 难度：中等

“星光大道”是备受观众喜爱的央视栏目，现有3位周冠军A、B、C和甲、乙两位挑战者参加12月的月冠军比赛，比赛规则：第一轮甲、乙两位挑战者从3位周冠军中各选一位周冠军进行比赛，胜者进入第二轮比赛，未被选中的周冠军直接进入第二轮比赛，第二轮比赛从3位选手中淘汰一位选手，胜者进入第三轮比赛，第三轮比赛的胜者为月冠军．假设每轮比赛每位选手被淘汰的可能性相等．
（1）求周冠军A、B和挑战者甲、乙进入第一轮比赛且至少有一位挑战者进入第二轮比赛的概率．
（2）求月冠军是挑战者的概率．
（3）设进入第三轮比赛的挑战者的人数ξ，求ξ的数学期望．

19. 难度：中等

已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，且AB=2，AD=3，CD=1，点E、F分别在AD、BC上，满足．现将此梯形沿EF折叠成如图所示图形，且使．
（1）求证：AE⊥平面ABCD；
（2）求二面角D-CE-A的大小．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n，且（n∈N^*）．
（1）求a₂与a₃的值；
（2）设，T_n是数列{b_n}的前n项和，求数列{T_n}的通项公式．

21. 难度：中等

设函数，其中a为实数．
（1）已知函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）已知不等式f′（x）＞x²-x-a+1对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值范围．

22. 难度：中等

已知椭圆的中心在原点O，焦点在x轴上，过右焦点F的直线与右准线交于点D，与椭圆交于A、B两点，右准线与x轴交于C点，若成等差数列，且公差等于短轴长的．
（1）求椭圆的离心率； 
（2）若△OAB的面积为，求椭圆的方程．