2011-2012学年山东省淄博一中高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=R，A={y|y=2^x，x＜1}，B={x|y=ln（x-1）}，则A∩（C_UB）是（ ）
A．（0，1）
B．（0，1]
C．（-∞，2]
D．（-∞，1]

2. 难度：中等

已知实数a，b，c，d成等比数列，且对函数y=ln（x+2）-x，当x=b时取到极大值c，则ad等于（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

3. 难度：中等

如图，△ABC中，||=3，||=1，D是BC边中垂线上任意一点，则•（-）的值是（ ）

A．1
B．
C．2
D．4

4. 难度：中等

关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：
①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；
②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；
③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；
④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；
其中真命题的序号是（ ）
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③

5. 难度：中等

函数（0＜a＜1）的图象的大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若A为不等式组表示的平面区域，则a从-2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

若将函数y=2sin（x+φ）的图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位后得到的图象关于点（，0）对称，则|φ|的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

下列命题中的真命题的个数是（ ）
（1）命题“若x=1，则x²+x-2=0”的否命题为“若x=1，则x²+x-2≠0”；
（2）若命题p：∃x∈（-∞，0]，≥1，则￢p：∀x∈（0，+∞），（）^x＜1；
（3）设命题p：∃x∈（0，∞），log₂x＜log₃x，命题q：∀x∈（0，），tanx＞sinx则p∧q为真命题；
（4）设a，b∈R，那么“ab+1＞a+b”是“a²+b²＜1”的必要不充分条件．
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个

9. 难度：中等

设函数f（x）=，则f（x）dx的值为（ ）
A．+
B．+
C．+
D．+

10. 难度：中等

设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=-，且当x∈[-3，-2]时，f（x）=4x，则f（107.5）=（ ）
A．10
B．
C．-10
D．-

11. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=并且a_n（a_n-1+a_n+1）=2a_n+1a_n-1（n≥2），则数列的第2010项为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

对实数a与b，定义新运算“⊗”：设函数f（x）=（x²-2）⊗（x-x²），x∈R．若函数y=f（x）-c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

函数f（x）=1+log_ax（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-2=0上，其中m＞0则+的最小值为    ．

14. 难度：中等

从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如图，则该几何体的体积为    ．

15. 难度：中等

由命题“存在x∈R，使x²+2x+m≤0”是假命题，求得m的取值范围是（a，+∞），则实数a的值是    ．

16. 难度：中等

定义方程f（x）=f'（x）的实数根x叫做函数f（x）的“新驻点”，如果函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=cosx（）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量，，函数．
（Ⅰ）若f（x）=1，求的值；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足，求f（2B）的取值范围．

18. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，点D在AB上．
（Ⅰ）求证：AC⊥B₁C；
（Ⅱ）若D是AB中点，求证：AC₁∥平面B₁CD；
（Ⅲ）当时，求二面角B-CD-B₁的余弦值．

19. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=na_n-2n（n-1）．等比数列{b_n}的前n项和为T_n，公比为a₁，且T₅=T₃+2b₅．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{}的前n项和为M_n，求证：≤M_n＜．

20. 难度：中等

已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．
（Ⅰ）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P是多少元？
（Ⅱ）设该厂x天购买一次配料，求该厂在这x天中用于配料的总费用y（元）关于x的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？

21. 难度：中等

已知，，n∈N^*．
（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；
（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总存在极值？
（Ⅲ）当a=2时，设函数，若在区间[1，e]上至少存在一个x，使得h（x）＞f（x）成立，试求实数p的取值范围．