2011-2012学年广东省佛山一中高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

曲线y=|x|和圆x²+y²=4所围成的较小区域的面积为（ ）
A．
B．
C．π
D．

2. 难度：中等

已知圆的方程为x²+y²-6x-8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．10
B．20
C．30
D．40

3. 难度：中等

与圆C：x²+（y+5）²=3相切、且纵截距和横截距相等的直线共有（ ）
A．2条
B．3条
C．4条
D．6条

4. 难度：中等

在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（-3，1）距离为2的直线共有（ ）
A．4条
B．3条
C．2条
D．1条

5. 难度：中等

下列说法不正确的是（ ）
A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形
B．同一平面的两条垂线一定共面
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直

6. 难度：中等

过直线l：y=x上一点P向圆x²+y²-6y+7=0引切线，切点为A，则|PA|_min=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设平面α⊥平面β，且α∩β=l，直线a⊂α，直线b⊂β，且a不与l垂直，b不与l垂直，那么a与b（ ）
A．可能垂直，不可能平行
B．可能平行，不可能垂直
C．可能垂直，也可能平行
D．不可能垂直，也不可能平行

8. 难度：中等

若直线通过点M（cosα，sinα），则（ ）
A．a²+b²≤1
B．a²+b²≥1
C．
D．

9. 难度：中等

若关于x的方程有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图，在棱长为3的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是棱A₁B₁、A₁D₁的中点，则点B到平面AMN的距离是（ ）

A．
B．
C．
D．2

二、填空题

11. 难度：中等

正方体各面所在的平面将空间分成     部分．

12. 难度：中等

过原点的直线与圆（x-2）²+y²=3有公共点，则该直线倾斜角的取值范围是    ．

13. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为    ．

14. 难度：中等

若圆（x-1）²+（y+1）²=R²上有且仅有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1，则半径R的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知圆C的圆心在直线3x-y=0上，与x轴相切，且被直线x-y=0截得的弦长为，求圆C的方程．

16. 难度：中等

已知△ABC的顶点A为（3，-1），AB边上的中线所在直线方程为6x+10y-59=0，∠B的平分线所在直线方程为x-4y+10=0，
（1）求B点的坐标；
（2）求A点关于直线x-4y+10=0对称点A'的坐标；
（3）求BC边所在直线的方程．

17. 难度：中等

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D为AB的中点，AB=2，A₁A=，如图．
求证：（1）CD⊥AB₁；
      （2）AB₁⊥BC₁．

18. 难度：中等

已知三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行．

19. 难度：中等

已知点P（3，2）及圆C：x²+y²-2x+2y-2=0．
（1）过P向圆C作切线，切点为A，B（A在B的左边），求切线的方程；
（2）求切线长|PA|，并求∠APB的正切；
（3）求直线AB的方程；
（4）求四边形ACBP的面积．

20. 难度：中等

已知圆C：（x-4）²+y²=4，圆D的圆心D在y轴上，且与圆C外切，圆D交y轴于A、B两点（A在B的上方），点P为（-3，0）．
（1）若D（0，3），求∠APB的正切值；
（2）若D在y轴上运动，当D在何位置时，tan∠APB最大？并求出最大值；
（3）在x轴上是否存在点Q，使当D在y轴上运动时，∠AQB为定值？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．