2011-2012学年江苏省南通市二甲中学高三（上）9月抽测数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

复数z=1+i，为z的共轭复数，则=    ．

2. 难度：中等

设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x²+y²≥4”的    条件（从充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分也不必要四个中选一个填入空格）．

3. 难度：中等

已知，则C_UP=    ．

4. 难度：中等

已知函数y=a（x³-3x）的递增区间为（-1，1），则a的取值范围是    ．

5. 难度：中等

若向量满足且，则=    ．

6. 难度：中等

若tanα=3，则的值等于    ．

7. 难度：中等

将一枚均匀的硬币投掷3次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为    ．

8. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₁，2S₂，3S₃成等差数列，则{a_n}的公比为    ．

9. 难度：中等

双曲线-=1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是    ．

10. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是    ．

11. 难度：中等

设f（x）=3ax-2a+1，a为常数．若存在x∈（0，1），使得f（x）=0，则实数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

在圆x²+y²-2x-6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为    ．

13. 难度：中等

若函数f（x）=x²-|x+a|为偶函数，则实数a=    ．

14. 难度：中等

设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0且g（-3）=0，则f（x）g（x）＜0的解集为     ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知以角B为钝角的△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，且．（1）求角B的大小；（2）求cosA+cosC的取值范围．

16. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F分别是A₁B，A₁C的中点，点D在B₁C₁上，A₁D⊥B₁C．求证：
（1）EF∥平面ABC；
（2）平面A₁FD⊥平面BB₁C₁C．

17. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的公比q=3，前3项和S₃=．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜p＜π）在处取得最大值，且最大值为a₃，求函数f（x）的解析式．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=log₂（2^x+1）
（1）求证：函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增；
（2）记f^-1（x）为函数f（x）的反函数，关于x的方程f^-1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．

19. 难度：中等

如图，在矩形地块ABCD中有两条道路AF，EC，其中AF是以A为顶点的抛物线段，EC是线段．AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km．在两条道路之间计划修建一个花圃，花圃形状为直角梯形QPRE（线段EQ和RP为两个底边，如图所示）．求该花圃的最大面积．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-ax²+（2-a）x．
（I）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a＞0，证明：当0＜x＜时，f（+x）＞f（-x）；
（Ⅲ）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x，证明：f′（x）＜0．

21. 难度：中等

已知矩阵，向量，求向量α，使得A²α=β．

22. 难度：中等

求曲线C₁：被直线l：y=x-所截得的线段长．

23. 难度：中等

假定某射手每次射击命中的概率为，且只有3发子弹．该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X，
求：（1）目标被击中的概率；
（2）X的概率分布；
（3）均值E（X）．

24. 难度：中等

设函数．
（1）当m=3时，求f（6，y）的展开式中二项式系数最大的项；
（2）若且a₃=32，求；
（3）设n是正整数，t为正实数，实数t满足f（n，1）=mⁿf（n，t），求证：．