2011-2012学年福建省福州市高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数i（1+i）（i为虚数单位）等于（ ）
A．0
B．1+i
C．1-i
D．-1+i

2. 难度：中等

已知全集U={a，b，c，d，e}，M={a，c，d}，N={b，d，e}，则（∁_R M）∩N等于（ ）
A．{b}
B．{d}
C．{b，e}
D．{b，d，e}

3. 难度：中等

如图是某次大赛中，7位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为（ ）

A．83
B．84
C．85
D．86

4. 难度：中等

“x＜2”是“x²-2x＜0”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

已知a=2^0.2，b=0.4^0.2，c=0.4^0.6，则（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a

6. 难度：中等

若变量x，y满足约束条件则z=x-2y的最小值等于（ ）
A．-2
B．-
C．
D．

7. 难度：中等

已知cos（α+）=，则sin（-α）的值等于（ ）
A．
B．-
C．
D．±

8. 难度：中等

直线y=x与椭圆=1的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知函数f （x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则函数f （x）的一个单调递增区间是（ ）

A．（）
B．（）
C．（）
D．（）

10. 难度：中等

若直线x+my=2+m与圆x²+y²-2x-2y+1=0相交，则实数m的取值范围为（ ）
A．（-∞，+∞）
B．（-∞，0）
C．（0，+∞）
D．（-∞，0）U（0，+∞）

11. 难度：中等

如图，已知点O是边长为1的等边△ABC的中心，则（）•（）等于（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=，a_n+1=，则a₂₀₁₀等于（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

双曲线的渐近线方程为    ．

14. 难度：中等

如图所示，程序框图的输出值s等于    ．

15. 难度：中等

“无字证明”（proofs without words），就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：    ．

16. 难度：中等

已知集合M是满足下列条件的函数f （x）的全体：
（1）f （x）既不是奇函数也不是偶函数；
（2）函数f （x）有零点．那么在函数
①f （x）=|x|+1，②f （x）=2^x一1，③f （x）=④f （x）=x²一x一1+lnx
中，属于M的有    （写出所有符合的函数序号）．

三、解答题

17. 难度：中等

已知{a_n}是等比数列，a₁=2，且a₁，a₃+1，a₄成等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

18. 难度：中等

已知A、B、C三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，有一个球标着号码1，另一个球标着号码2．现从A、B、C三个箱子中各摸出1个球．
（I）若用数组（x，y，z）中的x、y、z分别表示从A、B、C三个箱子中摸出的球的号码，请写出数组（x，y，z）的所有情形，并回答一共有多少种；
（Ⅱ）如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖．那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由．

19. 难度：中等

设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知a=3，B=，S_△ABC=6．
（ I ）求△ABC的周长；
（Ⅱ）求sin2A的值．

20. 难度：中等

某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到15一O.1x万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为l0．假设不计其它成本，即销售每套丛书的利润=售价 一 供货价格．问：
（I）每套丛书定价为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？
（Ⅱ）每套丛书定价为多少元时，单套丛书的利润最大？

21. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（一1，1），P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足k_OP+k_OA=k_PA．
（I）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，试探究：点M的横坐标是否为定值？并说明理由．

22. 难度：中等

已知m，t∈R，函数f （x）=（x-t）³+m．
（I）当t=1时，
（i）若f （1）=1，求函数f （x）的单调区间；
（ii）若关于x的不等式f （x）≥x³-1在区间[1，2]上有解，求m的取值范围；
（Ⅱ）已知曲线y=f （x）在其图象上的两点A（x₁，f （x₁）），B（x₂，f （x₂）））（ x₁≠x₂）处的切线分别为l₁、l₂．若直线l₁与l₂平行，试探究点A与点B的关系，并证明你的结论．