2011-2012学年山西省晋中市平遥中学高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知命题p，q，若命题“￢p”与命题“p∨q”都是真命题，则（ ）
A．p为真命题，q为假命题
B．p，q均为假命题
C．p，q均为真命题
D．p为假命题，q为真命题

2. 难度：中等

若与都是非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

命题p：∀x∈R，x≥0的否定是（ ）
A．￢p：∃x∈R，x＜0
B．￢p：∃x∈R，x≤0
C．￢p：∀x∈R，x＜0
D．￢p：∀x∈R，x≤0

4. 难度：中等

两个焦点坐标分别是F₁（0，-5），F₂（0，5），离心率为 的双曲线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足|PA|+|PB|=8，则|PA|的取值范围是（ ）
A．[1，4]
B．[2，6]
C．[3，5]
D．[3，6]

6. 难度：中等

已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P₁：|+|＞1⇔θ∈[0，）；P₂：|+|＞1⇔θ∈（，π]；P₃：|-|＞1⇔θ∈[0，）；P₄：|-|＞1⇔θ∈（，π]；其中的真命题是（ ）
A．P₁，P₄
B．P₁，P₃
C．P₂，P₃
D．P₂，P₄

7. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，M为侧面ABB₁A₁所在平面上的一个动点，且M到平面ADD₁A₁的距离与M到直线BC距离相等，则动点M的轨迹为（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．圆
D．抛物线

8. 难度：中等

已知空间四边形OABC，其对角线OB、AC，M、N分别是边OA、CB的中点，点G在线段MN上，且使MG=2GN，用向量 
表示向量 是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

一位运动员投掷铅球的成绩是14m，当铅球运行的水平距离是6m时，达到最大高度4m．若铅球运行的路线是抛物线，则此抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A．8m
B．16m
C．
D．

10. 难度：中等

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M和N分别为A₁B₁和BB₁的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知两圆C₁：（x+4）²+y²=2，C₂：（x-4）²+y²=2，动圆M与两圆C₁，C₂都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（ ）
A．x=0
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知椭圆C₁：=1 （a＞b＞0）与双曲线C₂：x²-=1 有公共的焦点，C₂的一条渐近线与以C₁的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C₁恰好将线段AB三等分，则（ ）
A．a²=
B．a²=3
C．^_b2=
D．^_b2=2

二、填空题

13. 难度：中等

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P为双曲线上一点，且∠PF₁F₂=30°，∠PF₂F₁=60°，则双曲线的离心率e等于    ．

14. 难度：中等

给定下列四个命题：（1）“在△ABC中，若|AB|＞|AC|，则∠C＞∠B”的逆命题；（2）“若ab=0，则a=0”的逆否命题；（3）“若a=b，则a²=b²”的否命题；（4）“若ac=cb，则a=b”的逆命题．其中是真命题的为    ．

15. 难度：中等

两条异面直线a，b所成的角为60°，在直线a，b上分别取点A₁，E和点A，F使AA₁⊥a，且AA₁⊥b（称AA₁为异面直线a，b的公垂线）．已知A₁E=2，AF=3，EF=5，则线段AA₁的长为    ．

16. 难度：中等

已知A（11，-1，3）、B（4，1，3）、C（2，3，1）、D（3，7，m）四点在同一平面 内，则m的值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设p：；q：x²-2x+1-m²≤0，如果“￢p”是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

18. 难度：中等

设直线y=x+b与椭圆相交于A，B两个不同的点．
（1）求实数b的取值范围；
（2）当b=1时，求．

19. 难度：中等

已知抛物线y²=4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，求点M的轨迹方程．

20. 难度：中等

如图，在圆锥PO中，已知PO=，⊙O的直径AB=2，C是的中点，D为AC的中点．
（Ⅰ）证明：平面POD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角B-PA-C的余弦值．

21. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点．
（Ⅰ）求点C到平面PBD的距离；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．

22. 难度：中等

已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d（P，l）
（1）求点P（1，1）到线段l：x-y-3=0（3≤x≤5）的距离d（P，l）；
（2）设l是长为2的线段，求点的集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形面积；
（3）写出到两条线段l₁，l₂距离相等的点的集合Ω={P|d（P，l₁）=d（P，l₂）}，其中l₁=AB，l₂=CD，A，B，C，D是下列三组点中的一组．
对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分．
①A（1，3），B（1，0），C（-1，3），D（-1，0）．
②A（1，3），B（1，0），C（-1，3），D（-1，-2）．
③A（0，1），B（0，0），C（0，0），D（2，0）．