2011-2012学年湖南省娄底市涟源一中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x²-4x＞0}，B={x||x-1|≤2}，那么集合A∩B等于（ ）
A．{x|-1≤x＜0}
B．{x|3≤x＜4}
C．{x|0＜x≤3}
D．{x|-1≤x＜0，或3≤x＜4}

2. 难度：中等

下列命题中是假命题的是（ ）
A．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+sinβ
B．∀x＞0，有ln⁶x+ln³x+1＞0
C．上递减
D．∀ϕ∈R，函数y=sin（2x+ϕ）都不是偶函数

3. 难度：中等

一颗骰子连续掷两次，朝上的点数依次为a、b，使复数（a+bi）（b-4ai）为实数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知一个四棱锥的正视图和侧视图为两个完全相同的等腰直角三角形（如图示），腰长为1，则该四棱锥的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知函数，则的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2

6. 难度：中等

不等式[（1-a）n-a]lga＜0，对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a＞1}
B．{a|0＜a＜}
C．{a|0＜a＜或a＞1}
D．{a|a0＜a＜或＞1}

7. 难度：中等

△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x²+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx²+bx+1）．记集合S=|x|f（x）=0，x∈R|，T=|x|g（x）=0，x∈R|，若cardS，cardT分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）
A．cardS=1，cardT=0
B．cardS=1，cardT=1
C．cardS=2，cardT=2
D．cardS=2，cardT=3

二、填空题

9. 难度：中等

若直线（t为参数）与直线（s为参数）垂直，则k=    ．

10. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O（O为圆心）的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，AC=，∠PAB=30°，则圆O的面积为    ．

11. 难度：中等

用黄金分割法寻找最佳点，试验区间为[1000，2000]，若第一个二个试点为好点，则第三个试点应选在    ．

12. 难度：中等

实数x，y，z满足x²+y²+z²=1，则的最大值为    ．

13. 难度：中等

若数列{a_n}满足，则a_n=    ．

14. 难度：中等

已知一个公园的形状如图所示，现有4种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，共有     种不同的种法

15. 难度：中等

从集合A={1，2，3，…，n}中任取k（k≤n）个元素，组成集合A的子集B，记全部子集中所有各元素之和为，则当时，k的值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量，，函数，．
（1）求函数g（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（c）=3，c=1，，且a＞b，求a，b的值．

17. 难度：中等

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．

18. 难度：中等

如图示，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求证：AC⊥BF；
（2）设二面角A-FD-B的大小为θ，求sinθ的值；
（3）设点P为一动点，若点P从M出发，沿棱按照M→E→C的路线运动到点C，求这一过程中形成的三棱锥P-BFD的体积的最小值．

19. 难度：中等

某种出口产品的关税税率t，市场价格x（单位：千元）与市场供应量p（单位：万件）之间近似满足关系式：p=2^{（1-kt）（x-b）2}，其中k，b均为常数．当关税税率为75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量均为1万元；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．
（1）试确定k、b的值；
（2）市场需求量q（单位：万件）与市场价格x近似满足关系式：q=2-x．p=q时，市场价格称为市场平衡价格．当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．

20. 难度：中等

设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，且离心率且过椭圆右焦点F₂的直线l与椭圆C交于M、N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，使得．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：为定值．

21. 难度：中等

对于函数f（x），若存在x∈R，使f（x）=x成立，则称x为f（x）的不动点．如果函数有且仅有两个不动点0，2，且．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）已知数列{a_n}各项不为零且不为1，满足，求证：；
（3）设，T_n为数列{b_n}的前n项和，求证：T₂₀₁₂-1＜ln2012＜T₂₀₁₁．