2011-2012学年湖南省株洲市攸县长鸿学校高三（上）第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合P={x|x＞1}，Q={x|x²-x＞0}，则下列结论正确的是（ ）
A．P=Q
B．P∪Q=R
C．P⊊Q
D．Q⊊P

2. 难度：中等

若函数f（x）的定义域为R，则“函数f（x）为奇函数”是“函数f（-x）奇函数”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

3. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）
A．关于点（，0）对称
B．关于直线x=对称
C．关于点（，0）对称
D．关于直线x=对称

4. 难度：中等

如图，设，为互相垂直的单位向量，则向量-可表示为（ ）

A．-3
B．-2-4
C．3-
D．3-

5. 难度：中等

设{a_n}，{b_n}分别为等差数列与等比数列，且a₁=b₁=4，a₄=b₄=1，则以下结论正确的是（ ）
A．a₂＞b₂
B．a₃＜b₃
C．a₅＞b₅
D．a₆＞b₆

6. 难度：中等

对任意实数x，定义[x]为不大于x的最大整数（例如[3.4]=3，[-3.4]=-4等），设函数f（x）=x-[x]，给出下列四个结论：①f（x）≥0；②f（x）＜1；③f（x）是周期函数；④f（x）是偶函数，其中正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（-1，3），若点C满足=α+β，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为（ ）
A．3x+2y-11=0
B．（x-1）²+（y-2）²=5
C．2x-y=0
D．x+2y-5=0

8. 难度：中等

函数y=f′（x）是函数y=f（x）的导函数，且函数y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线为：l：y=g（x）=f′（x）（x-x）+f（x），F（x）=f（x）-g（x），如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，且a＜x＜b，那么（ ）


A．F′（x）=0，x=x是F（x）的极大值点
B．F′（x）=0，x=x是F（x）的极小值点
C．F′（x）≠0，x=x不是F（x）极值点
D．F′（x）≠0，x=x是F（x）极值点

二、填空题

9. 难度：中等

已知，，则tanα=    ．

10. 难度：中等

计算：=    ．

11. 难度：中等

已知{a_n}是各项均为正数的等比数列，a₁a₂a₃=5，a₇a₈a₉=10，则a₄a₅a₆=    ．

12. 难度：中等

已知函数，则f[f（2010）]=    ．

13. 难度：中等

已知不等式|x-m|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜，则m的取值范围是    

14. 难度：中等

已知向量=（，1），=（0，-1），=（k，）．若与共线，则k=    ．

15. 难度：中等

当n为正整数时，定义函数N （n）表示n的最大奇因数．如N （3）=3，N （10）=5，…．记S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（2ⁿ）．则（1）S（4）=    ．（2）S（n）=．

三、解答题

16. 难度：中等

已知A，B，C三点的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），其中．
（1）若，求角α的值；
（2）若，求的值．

17. 难度：中等

如图是一个正方体魔块（表面有颜色），将它掰开（沿图中各面的线），得到27棱长为1的小正方体，将这些小正方体充分混合后，装入一个口袋中．
（1）从这个口袋中任意取出1个小正方体，这个小正方体的表面恰好没有颜色的概率为多少？
（2）从这个口袋中同时任意取出2个小正方体，其中一个小正方体恰好有1个面涂有颜色，另一个小正方体至少有2个面涂有颜色的概率为多少？

18. 难度：中等

如图所示，一动圆与圆x²+y²+6x+5=0外切，同时与圆x²+y²-6x-91=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．

19. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=CC₁，M、N分别是A₁B、B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：MN⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求直线BC₁和平面A₁BC所成角的大小．

20. 难度：中等

已知x=是函数f（x）=的极值点．
（Ⅰ）当b=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当b∈R时，函数y=f（x）-m有两个零点，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

设数列{a_n}是有穷等差数列，给出下面数表：
a₁  a₂    a₃     …a_n-1 a_n 第1行
a₁+a₂   a₂+a₃   …a_n-1+a_n  第2行
…
…
…第n行
上表共有n行，其中第1行的n个数为a₁，a₂，a₃…a_n，从第二行起，每行中的每一个数都等于它肩上两数之和．记表中各行的数的平均数（按自上而下的顺序）分别为b₁，b₂，b₃…b_n．
（1）求证：数列b₁，b₂，b₃…b_n成等比数列；
（2）若a_k=2k-1（k=1，2，…，n），求和．