2011-2012学年四川省南充高中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M是函数y=lg（1-x）的定义域，集合N={y|y=e^x，x∈R}（e为自然对数的底数），则M∩N=（ ）
A．{x|x＜1}
B．{x|x＞1}
C．{x|0＜x＜1}
D．φ

2. 难度：中等

已知（x+i）（1-i）=y，则实数x，y分别为（ ）
A．x=-1，y=1
B．x=-1，y=2
C．x=1，y=1
D．x=1，y=2

3. 难度：中等

等比数列{a_n}中，，S_n是数列{a_n}前n项的和，则为（ ）
A．
B．8
C．
D．16

4. 难度：中等

已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（ ）
A．
B．
C．
D．4

5. 难度：中等

设命题P：m≥，命题q：一元二次方程x²+x+m=0有实数解．则-p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

5个人站成一排，若甲乙两人之间恰有1人，则不同站法有（ ）
A．18种
B．24种
C．36种
D．48种

7. 难度：中等

函数f（x）=，在x=1处连续，则实数m=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在椭圆上有一点M，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，若，则椭圆离心率的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知函数f （x+1）是奇函数，f （x-1）是偶函数，且f （0）=2，则f （2012）=（ ）
A．-2
B．0
C．2
D．3

10. 难度：中等

（文）若点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为（ ）
A．1
B．
C．
D．

11. 难度：中等

设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a^x的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（ ）
A．（1，3]
B．[2，3]
C．（1，2]
D．[3，+∞]

12. 难度：中等

已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导数f'（x）在R上恒有f′（x）（x∈R），则不等式f（x²）＜的解集为（ ）
A．（1，+∞）
B．（-∞，-1）
C．（-1，1）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

二、填空题

13. 难度：中等

若f（x）是R上的奇函数，则函数y=f（x+1）-2的图象必过定点    ．

14. 难度：中等

已知二项式的展开式中第4项为常数项，则n=    ．

15. 难度：中等

在空间中，若射线OA、OB、OC两两所成角都为，且OA=2，OB=1，则直线AB与平面OBC所成角的正弦值为    ．

16. 难度：中等

几位同学在研究函数（x∈R）时，给出了下面几个结论：
①函数f（x）的值域为（-1，1）；②若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；③f（x）在（0，+∞）是增函数；④若规定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，则对任意n∈N^*恒成立，
上述结论中正确的个数有    个．

三、解答题

17. 难度：中等

设函数f （x）=2cosx （cosx+sinx）-1，x∈R．
（1）求f （x）的最小正周期T及单调递增区间；
（2）在△ABC中，C=90°，求f （A）的取值范围．

18. 难度：中等

某汽车驾驶学校在学员结业前，对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核．若学员小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，他参加第一次考核合格的概率不超过，且他直到第二次考核才合格的概率为．
（1）求小李第一次参加考核就合格的概率P₁；
（2）求小李参加考核的次数ξ的数学期望．

19. 难度：中等

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．
（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；
（2）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值；
（3）求点B到平面PDE的距离．

20. 难度：中等

设函数f（x）=x²+2ax-ln（1+x）+1．
（1）若函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程是x-y+b=0，求实数a，b的值；
（2）当时，求函数f（x）的单调区间；
（3）若方程f（x）=x²+（2a-）x+（a+1）在[0，2]上有两个不等实根，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

已知F₂（-2，0），F₂（2，0），点P满足||PF₁|-|PF₂||=2，记点P的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）若过点F₂的直线l交轨迹E于P、Q两不同点．设点M（m，0），问：是否存在实数m，使得直线l绕点若过点F₂的直线l交轨迹E于P、Q两不同点．设点M（m，0），问：无论怎样转动，都有•=0成立？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

设函数，（a∈R）．
（1）若a=1，证明：当x＞-1时，f（x）≥0；
（2）若f（x）≤0在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设n∈N且n＞1求证：．