2011-2012学年广西桂林中学高三（上）7月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若，则的值为（ ）
A．6
B．7
C．35
D．20

2. 难度：中等

一物体的运动方程为s=t⁴-3，则当t=5时物体的瞬时速度为（ ）
A．5
B．25
C．125
D．625

3. 难度：中等

随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ=300，Dξ=200，则p等于（ ）
A．
B．0
C．1
D．

4. 难度：中等

已知a＞1，则=（ ）
A．
B．
C．或
D．不存在

5. 难度：中等

从甲袋中摸出1个红球的概率为，从乙袋中摸出1个红球的概率为，从两袋中各摸出一个球，则等于（ ）
A．2个球都不是红球的概率
B．2个球都是红球的概率
C．至少有1个红球的概率
D．2个球中恰有1个红球的概率

6. 难度：中等

过球面上三点A、B、C的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB=6，BC=8，AC=10，则球的表面积是（ ）
A．100π
B．300π
C．π
D．π

7. 难度：中等

（2x+1）⁶展开式中x²的系数为（ ）
A．30
B．120
C．60
D．15

8. 难度：中等

下列四个命题中，不正确的是（ ）
A．若函数f（x）在x=x处连续，则
B．函数的不连续点是x=2和x=-2
C．若函数f（x）、g（x）满足，则
D．

9. 难度：中等

用数学归纳法证明，第二步证明从k到k+1，左端增加的项数为（ ）
A．2^k-1
B．2^k
C．2^k-1
D．2^k+1

10. 难度：中等

世博会期间，某班有四名学生参加了志愿工作．将这四名学生分配到A、B、C三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人．若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有（ ）
A．36种
B．30种
C．24种
D．20种

11. 难度：中等

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，E，F，G为 AB，AA₁，A₁C₁的中点，则B₁F 与面GEF成角的正弦值（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知一组抛物线y=ax²+bx+1，其中a为2、4、6、8中任取的一个数，b为1、3、5、7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ²），若P（ξ＞2）=0.023，则P（-2≤ξ≤2）=    ．

14. 难度：中等

三棱锥A-BCD的侧棱两两相等且相互垂直，若外接球的表面积s=8π，则侧棱的长=    ．

15. 难度：中等

某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取    名学生．

16. 难度：中等

函数y=sinx•（cosx+1）的导数是    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，若B=30°，AB=2，AC=2，求△ABC的面积    ．

三、解答题

18. 难度：中等

设函数f（x）=x•log₂x+（1-x）•log₂（1-x）（0＜x＜1），求f'（x）并求的值．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足，且S_n=n（2n-1）a_n，
（1）求a₂，a₃的值；猜想a_n的表达式并用数学归纳法证明
（2）求．

20. 难度：中等

某种家电器每台的销售利润与该电器无故障使用时间T（单位：年）有关，若T≤1，则销售利润为0元，若1＜T≤3，则销售利润为100元，若T＞3，则销售利润为200元，设每台该种电台无故障使用时间T≤1，1＜T≤3及T＞3这三种情况发生的概率为P₁，P₂，P₃，又知P₁，P₂是方程25x²-15x+a=0的两个根，且P₂=P₃，
（1）求P₁，P₂，P₃的值；
（2）记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求ξ的分布列和期望

21. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=2，E是PB的中点，F是AD的中点．
（1）求异面直线PD一AE所成角的大小；
（2）求证：EF⊥平面PBC；
（3）求二面角F-PC-B的大小．

22. 难度：中等

设函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a、b、c、d∈R）满足：∀x∈R都有f（x）+f（-x）=0，且x=1时，f（x）取极小值．
（1）f（x）的解析式；
（2）当x∈[-1，1]时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直：
（3）设F（x）=|xf（x）|，证明：时，．