2011-2012学年山西省忻州一中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

直线2x+1=0的倾斜角为α，则=（ ）
A．1
B．
C．
D．0

2. 难度：中等

已知全集 U={1，2，3，4，5}，A={x|x²-6x+5=0，x∈R}，B⊊C_UA，则集合B 的个数是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8

3. 难度：中等

已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，下列四个命题：
①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；
④若m∥α，α∩β=n，则m∥n．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

4. 难度：中等

程序框图如图所示，其输出结果是（ ）

A．64
B．65
C．63
D．67

5. 难度：中等

过点P（-3，2）的光线l被直线y=0反射，设反射光线所在直线为l′，则l′必过定点（ ）
A．（-3，-2）
B．（3，2）
C．（3，-2）
D．（2，-3）

6. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下列结论错误的是（ ）
A．AC∥平面A₁BC₁
B．BC₁⊥平面A₁B₁CD
C．AD₁⊥B₁C
D．异面直线CD₁与BC₁所成的角是45°

7. 难度：中等

直线l的方程是：，圆C的方程是：（t＞0且t为参数），则直线l与圆C的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．相交或相

8. 难度：中等

函数f（x）=lgx-sinx在区间（0，10]上的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，长度为b（b为定值且b＜a）的线段EF在面对角线A₁C₁上滑动，G是棱BB₁上的动点（G不与端点B₁、B重合），下列四个判断：
①三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面积是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁表面积的一半；
②三棱锥B₁-DEF的体积不变；
③三棱锥G-ADD₁的体积等于三棱锥B-A₁AD₁的体积；
④正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁外接球的表面积是3πa²．
其中正确命题的个数是（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

10. 难度：中等

如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是（ ）

A．
B．12
C．
D．8

11. 难度：中等

向量，，对任意t∈R，恒有，下列四个结论中判断正确的是（ ）
A．∥
B．∥
C．⊥
D．⊥

12. 难度：中等

如图，动点P在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上．过点P作垂直于平面BB₁D₁D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

若圆（x-1）²+（y+2）²=1与圆x²+y²-2ax+2y+a²-3=0外切，则正实数a的值为    ．

14. 难度：中等

为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名，若高三学生共抽取25名，则高一年级每一位学生被抽到的概率是    ．

15. 难度：中等

如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为    ．

16. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，，点C满足．则与夹角的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26．
（I）求数列{a_n}的通项公式； 
（II）若，求数列{b_n}的前n项和S_n．

18. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形．
（1）若PD=AD，E为PA的中点，求证：平面CDE⊥平面PAB；
（2）F是棱PC上的一点，CF=CP，问线段AC上是否存在一点M，使得PA∥平面DFM．若存在，指出点M在AC边上的位置，并加以证明；若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

已知圆C的方程为：（x+1）²+（y-2）²=2．
（1）若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等，求切线l的方程；
（2）过原点的直线m与圆C相交于A、B两点，若|AB|=2，求直线m的方程．

20. 难度：中等

已知函数是定义在R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断f（x）在R上的单调性并用定义证明；
（3）若对x∈[-1，2]恒成立，求实数k的取值范围．

21. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，设f（x）=a²x²-（a²-b²）x-4c²．
（1）若，求角C的大小；
（2）若f（2）=0，求角C的取值范围．

22. 难度：中等

矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点M （2，0），AB边所在直线的方程为：x-3y-6=0．若点N（1，-5）在直线AD上．
（1）求点A的坐标及矩形ABCD外接圆的方程；
（2）过直线x-y+4=0上一点P作（1）中所求圆的切线，设切点为E、F，求四边形PEMF面积的最小值，并求此时的值．