2011-2012学年江苏省常州市武进区奔牛高级中学高三（上）数学周末练习（9.24）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设集合A={x|x²≤1}，B={x|x＞0}，则A∪B=    ．

2. 难度：中等

“”是“x＜0”成立的    条件．

3. 难度：中等

设（i是虚数单位），则在复平面内，z²+对应的点位于第    象限．

4. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x²-x．则f（1）=    ．

5. 难度：中等

设S_n为等比数列{a_n} 的前n项和，已知3S₃=a₄-2，3S₂=a₃-2，则公比q=    ．

6. 难度：中等

函数f（x）=sinx-tanx在区间上有    个零点．

7. 难度：中等

已知向量=（x+z，3），=（2，y-z），且⊥．若x，y满足不等式|x|+|y|≤1，则z的取值范围为    ．

8. 难度：中等

《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为    升．

9. 难度：中等

已知向量，．若函数在区间[-1，1]上不是单调函数，则实数t的取值范围是    ．

10. 难度：中等

在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为    ．

11. 难度：中等

如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是    ．

12. 难度：中等

设函数，则=    ．

13. 难度：中等

观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
…
照此规律，第n个等式为    ．

14. 难度：中等

设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f：V→V，a∈V，记a的象为f（a）．若映射f：V→V满足：对所有a、b∈V及任意实数λ，μ都有f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），则f称为平面M上的线性变换．现有下列命题：
①设f是平面M上的线性变换，a、b∈V，则f（a+b）=f（a）+f（b）；
②若e是平面M上的单位向量，对a∈V，设f（a）=a+e，则f是平面M上的线性变换；
③对a∈V，设f（a）=-a，则f是平面M上的线性变换；
④设f是平面M上的线性变换，a∈V，则对任意实数k均有f（ka）=kf（a）．
其中的真命题是    （写出所有真命题的编号）

二、解答题

15. 难度：中等

在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，b=2，求△ABC的面积S．

16. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（1）证明：A₁D∥平面BCC₁B₁；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离．

17. 难度：中等

为了保护一件珍贵文物，博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体．假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米气体费用1千元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为8千元．
（1）求博物馆支付总费用y与保护罩容积V之间的函数关系式；
（2）求博物馆支付总费用的最小值．

18. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差为-1，且a₂+a₇+a₁₂=-6，
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n与前n项和S_n；
（2）将数列{a_n}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b_n}的前3项，记{b_n}的前n项和为T_n，若存在m∈N^*，使对任意n∈N^*总有S_n＜T_m+λ恒成立，求实数λ的取值范围．

19. 难度：中等

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），已知不论α，β为何实数恒有f（sinα）≥0和f（2+cosβ）≤0．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）求证：c≥3a；
（Ⅲ）若a＞0，函数f（sinα）的最大值为8，求b的值．

20. 难度：中等

函数f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围．