2011-2012学年江苏省扬州中学高二（下）4月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知复数（i是虚数单位），则z=    ．

2. 难度：中等

观察式子，…，则可归纳出    ．

3. 难度：中等

用数学归纳法证明时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是    ．

4. 难度：中等

若=    ．

5. 难度：中等

若|z-i|=1，则|z|最大值为    ．

6. 难度：中等

四面体ABCD中，，∠ABD=30°，∠ABC=60°，则AB与CD所成角为    ．

7. 难度：中等

已知扇形的圆心角为2α（定值），半径为R（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为    ，则按图二作出的矩形面积的最大值为    ．

8. 难度：中等

若，则n=    ．

9. 难度：中等

6个相同的小球放入标号为1、2、3的3个小盒中，要求每盒不空，共有放法种数为    ．

10. 难度：中等

把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形（如图），则第n个三角形数是    ．

11. 难度：中等

已知两点A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2）点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，Q点的坐标    ．

12. 难度：中等

甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是    ．

13. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=a，CD=b（a＞b）．若EF∥AB，EF到CD与AB的距离之比为m：n，则可推算出：．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD中，延长梯形两腰AD，BC相交于O点，设△OAB，△OCD的面积分别为S₁，S₂，EF∥AB且EF到CD与AB的距离之比为m：n，则△OEF的面积S与S₁，S₂的关系是    ．

14. 难度：中等

设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：
①集合S={a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有0∈S；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．
其中真命题是    ．（写出所有真命题的序号）

二、解答题

15. 难度：中等

当实数m取何值时，复数z=（m²-3m+2）+（m²-4m+3）i．（1）是实数；  （2）是纯虚数；   （3）等于零．

16. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是棱BC的中点，Q在棱CD上．且DQ=λDC，若二面角P-C₁Q-C的余弦值为，求实数λ的值．

17. 难度：中等

用数学归纳法证明：．

18. 难度：中等

已知的展开式中第3项的系数与第5项的系数之比为．
（1）求n的值；
（2）求展开式中的常数项．

19. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点．
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小．

20. 难度：中等

由下列不等式：，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．